[wiskunde] Orthogonaal diagonaliseren van een matrix

plop0-1

hallo,

Het betreft de volgende vraagstuk:

: vraag.png (2.89 KiB) 779 keer bekeken

Aan de rechterkant de eigenwaarden van de matrix.

De matrix moet orthogonaal gediagonaliseerd worden.

Hier mijn uitwerking

: IMAG0568.jpg (162.37 KiB) 794 keer bekeken

Het is mij gelukt om de eigenruimte te berekenen (3xomcirkeld in plaatje 2), alleen de laatste stap om het te normaliseren is mij niet gelukt. De u's naast de omcirkelingen zijn allen fout.

Helemaal onderaan plaatje 2 heb ik de formule opgezocht hoe het berekend moet worden. Helaas is het mij niet gelukt.

Alvast bedankt!

Drieske

Je bent zeker dat je eigenruimte klopt? Ik heb ze niet nagerekend, daarom vraag ik het. En ben je bekend met Gram-Schmidt? Normaal wel, maar ik vraag het toch maar even

.

plop0-1

Mijn eigenruimte klopt, het is ook nagekeken. Ik ben niet bekend met Gram-Schmidt, volgens mij is die formule onderaan afbeelding twee die je bedoelt toch? Ik heb het geprobeerd om het toe te passen maar het lukt niet om tot het juiste antwoord te komen.

Drieske

Dat bedoel ik inderdaad

. Sorry, overgekeken. Goed, ik zie op je blad niet goed of je het nu al eens hebt geprobeerd, maar laten we bij het begin beginnen: zo'n projectie uitrekenen. Wat is jouw v₁, v₂ en v₃? En wat is dan proj_u1(v₂) (met u₁ = v₁)?

plop0-1

Ik heb geprobeerd dat voorbeeld te volgen van wikipedia, geen idee hoe ze dat hebben gedaan.

Wel heb ik een methode gevonden: de getallen in de vector in het kwadraat en de wortel daarvan nemen.

Dit deel je weer door de getallen in de vector. Dit is de bedoeling van die projectie denk ik, klopt dat?

Het enige wat ik nog niet zeker weet is of ik zelf mag bepalen welke vector v1, v2 of v3 is.

Ik denk zelf dat het niet uitmaakt, maar wel tot uitdrukking moet komen in de D -->

matrix A= PDP^-1

kun je misschien kort dat methode van Gram-Schmidt uitleggen, daar ben ik benieuwd naar. We hebben het nog nooit gehad.

Het volgende heb ik gedaan:

V1=(1,1,1)

V2=(1,-2,1)

V3=(-1,0,1)

U1=V1=(1,1,1)

U2= (1,-2,1)-proj _(1,1,1) (1,-2,1) =? hier kom ik niet verder

Drieske

Je mag zelf je vectoren kiezen inderdaad. Maar je keuze bepaalt natuurlijk wel hoe je matrices eruit gaan zien hè! Maar alles zou equivalent moeten zijn

. Laten we dus vooral focussen op de Gram-Schmidt procedure. Ben je bekend met scalaire producten? Je kan het ook een andere naam gegeven hebben, maar zou steeds op iets à la dit moeten neerkomen. Dat ga je namelijk nodig hebben.

plop0-1

Ja, dat hebben we gehad.

Drieske

Mooi

. In je papieren heb je zelf al een formule gegeven:

\(proj_u(v) = \frac{v \cdot u}{u \cdot u}u\)

. Kun je dat hier dan niet toepassen? Je moet daarvoor twee scalaire producten uitrekenen.

plop0-1

U2= (1,-2,1)-proj _(1,1,1) (1,-2,1) =?

proj _(1,1,1) (1,-2,1)=0 omdat--> 1*1+ -2*1 + 1*1 =0 (dit is van het gedeelte van v*u )

dus U2=V2

Drieske

Dat klopt

. Dat is ook wat je verwacht van Gram-Schmidt: je vectoren staan al loodrecht (want scalair product is 0), dus moet er niets gebeuren. Nu nog U3. Hetzelfde stramien. Probeer eens.

plop0-1

evenzo is u3=v3, de uitkomsten van de projecties zijn telkens 0

Drieske

Klopt weer

. Dus...

plop0-1

Dit maakt de mysterie alleen maar groter voor mij

.

Als u1=v1, u2=v2 en u3=v3, dan zou de genormaliseerde en de vectorruimte gelijk aan elkaar zijn.

Drieske

Ik snap niet goed wat je wilt zeggen. Dat de ruimte voortgebracht door de vectoren voor en Gram-Schmidt hetzelfde is, is logisch (waarom?). Anders zou die operatie ook niet veel nut hebben

. Dat nu toevallig al je vectoren al loodrecht op elkaar staan, dat is ook effectief toevallig. Dat hoeft niet altijd zo te zijn, maar kan wel.

plop0-1

Wil je dus zeggen dat de genormaliseerde eigenruimte =

1 1 -1

1 -2 0

1 1 1

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] Orthogonaal diagonaliseren van een matrix

Orthogonaal diagonaliseren van een matrix

Re: Orthogonaal diagonaliseren van een matrix

Re: Orthogonaal diagonaliseren van een matrix

Re: Orthogonaal diagonaliseren van een matrix

Re: Orthogonaal diagonaliseren van een matrix

Re: Orthogonaal diagonaliseren van een matrix

Re: Orthogonaal diagonaliseren van een matrix

Re: Orthogonaal diagonaliseren van een matrix

Re: Orthogonaal diagonaliseren van een matrix

Re: Orthogonaal diagonaliseren van een matrix

Re: Orthogonaal diagonaliseren van een matrix

Re: Orthogonaal diagonaliseren van een matrix

Re: Orthogonaal diagonaliseren van een matrix

Re: Orthogonaal diagonaliseren van een matrix

Re: Orthogonaal diagonaliseren van een matrix