Springen naar inhoud

Lokaal maximum



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 april 2013 - 10:36

"Zij f: R -> R een functie die continue afgeleiden heeft minstens tot de tweede orde. Veronderstel dat f'(0) < 0. Beschouw nu de functie
g: R³ -> R: (x, y, z) |-> g(x, y, z) = f(x² + 2y² + 3z²). Toon aan dat g een lokaal maximum bereikt in (0, 0, 0)."


We kunnen g beschouwen als f o h met h: R³ -> R: (x, y, z) |-> x² + 2y² + 3z².
Nu is h(0, 0, 0) = 0.

Hoe kan g dan een lokaal maximum bereiken in (0, 0, 0) als f'(0) < 0 ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Xenion

    Xenion


  • >1k berichten
  • 2606 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 04 april 2013 - 10:44

Begin misschien eens met de voorwaarden voor een extremum in g uit te schrijven. Partiële afgeleiden naar alle veranderlijken gelijk aan 0?
Daarna kan je kijken of dit een maximum of minimum is.

#3

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 04 april 2013 - 10:44

Kettingregel.

#4

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 april 2013 - 10:53

Ja, dan moet:

D1g(x, y, z) = f'(h(x, y, z)).D1h(x, y, z) = 0
D2g(x, y, z) = f'(h(x, y, z)).D2h(x, y, z) = 0
D3g(x, y, z) = f'(h(x, y, z)).D3h(x, y, z) = 0

En dit kan ook wanneer de partiële afgeleiden van h gelijk zijn aan 0 ? Klopt dit ? :)
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#5

Xenion

    Xenion


  • >1k berichten
  • 2606 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 04 april 2013 - 11:15

Ja inderdaad, dus een extremum heb je eenvoudig aangetoond. Nu zou je nog moeten kunnen beslissen of het om een minimum of maximum gaat.

#6

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 april 2013 - 11:22

Dit kan men doen door na te gaan of de Hessiaan positief of negatief definiet is.
Bv.: a11 van de Hessian is:

f''(h(0, 0, 0)).D1h(0, 0, 0) + f'(h(0, 0, 0)).D11h(0, 0, 0)

We weten dat D1h(0, 0, 0) = 0, D11h(0, 0, 0) = 2 en f'(h(0, 0, 0)) <0. We krijgen dus een negatieve a11 in de vorm van:

2.f'(0)

De andere vind men op een analoge manier.

Veranderd door Biesmansss, 04 april 2013 - 11:26

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#7

Xenion

    Xenion


  • >1k berichten
  • 2606 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 04 april 2013 - 11:27

Oké ik volg de notatie niet helemaal, maar het ziet er op het eerste zicht wel correct uit ;)

#8

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 april 2013 - 11:30

Ok. Bedankt voor de hulp! :D
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#9

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 april 2013 - 12:05

Ter verbetering:

a11 = f''(h(0, 0, 0)).D21h(0, 0, 0) + f'(h(0, 0, 0)).D11h(0, 0, 0)
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures