Fruitschaal, gefeliciteerd !!
Deze topic is door de gebruikers van Wetenschapsforum genomineerd als
Hallo,Deze topic is door de gebruikers van Wetenschapsforum genomineerd als
Lading is uniform over een groot vierkant met zijdes
\(l\)
verdeeld. De lading per vierkante meter (\(\text{C/m}^2\)
) is \(\sigma\)
. Bepaal het elektrische veld in een punt P op een afstand \(z\)
boven het midden van het vierkant, aangenomen dat \(z << l\)
.[/b]Begin met het uitrekenen van de contributie van een lange, smalle strook van breedte
\(dy\)
.[/b]-----
Smalle strook:
\(\sigma\)
is de lading per vierkante meter, dus in de strook is de lading per meter \(\sigma l\)
. Dus \(dQ = \sigma l dy\)
.Verder leek het me dat:
\(dE = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{dQ}{r^2}\)
, waarbij \(\epsilon_0\)
de permittiviteit van vrije ruimte is. In dit geval \(r = \sqrt{y^2 + z^2}\)
, waarbij \(y\)
de afstand is van het midden van het vierkant tot de strook.\(dE = \frac{\sigma l dy}{4\pi\epsilon_0(y^2 + z^2)}\)
.P bevindt zich boven het vierkant, dus de vector
\(dE\)
kan omschreven worden door loodrechte componenten: \(dE_y = \sin(\theta) dE\)
en \(dE_z = \cos(\theta) dE\)
, waarbij \(\theta\)
de hoek is tussen bijvoorbeeld \(z\)
en \(r = \sqrt{y^2 + z^2}\)
of tussen \(dE_z\)
en \(dE\)
.Er geldt
\(E_y = \int dE_y = \int \sin(\theta) dE = 0\)
, want 0 (de oorsprong) is het midden van het vierkant en P bevindt zich daarboven.Dat betekent:
\(E = E_z = \int \cos(\theta) dE = \int \frac{\cos(\theta) \sigma l dy}{4\pi\epsilon_0(y^2 + z^2)}\)
Het is mogelijk \(y\)
te schrijven als functie van \(\theta\)
en vice versa. Er geldt dat \(y = z \tan(\theta)\)
, dus \(dy = z\frac{d\theta}{\cos^2\theta}\)
. Verder \(\cos(\theta) = \frac{z}{\sqrt{y^2 + z^2}}\)
, dus \(\frac{1}{y^2 + z^2} = \frac{\cos^2(\theta)}{z^2}\)
Dus: \(E = \frac{\sigma l}{4 \pi \epsilon_0} \int \frac{\cos^2(\theta)}{z^2}\cos(\theta)\frac{z d\theta}{\cos^2(\theta)} = \frac{\sigma l}{4 \pi \epsilon_0} \frac{1}{z} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos(\theta) d\theta\)
\(\frac{\sigma l}{4 \pi \epsilon_0 z} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos(\theta) d\theta = \frac{\sigma l}{4 \pi \epsilon_0 z} [\sin(\theta)]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \frac{\sigma l}{2 \pi \epsilon_0 z}\)
.Dus het elektrische veld in P voor die willekeurige strook is
\(E = \frac{\sigma l}{2 \pi \epsilon_0 z}\)
.----
Als dit klopt, dan heb ik het dus bepaald voor een willekeurige smalle strook van breedte
\(dy\)
, maar hoe bepaal ik het dan voor het hele vierkant?Alvast bedankt!
