Het is de bedoeling dat ik de golfvergelijking (met
\(c = 1\)
) in \(\mathbb{R}^3\)
ga afleiden door gebruik te maken van \(r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\)
.De golfvergelijking:
\(u_{tt} = u_{xx} + u_{yy} + u_{zz}\)
die voldoet aan: \(u(x,y,z,0) = \frac{1}{1 + x^2 + y^2 + z^2}\)
Schrijf \(u(x,y,z,t) = U(r,t)\)
met \(U(-r,t) = U(r,t)\)
en leid af dat:\(U_{tt} = U_{rr} + \frac{2}{r}U_r\)
met \(U(r,0) = \frac{1}{1 + r^2}\)
.[/b]----
Ik heb er moeite mee om iets te herschrijven in variabelen. Hoe kom ik dus van
\(u_{tt} = u_{xx} + u_{yy} + u_{zz}\)
naar \(U_{tt} = U_{rr} + \frac{2}{r}U_r\)
? Het bepalen van de beginvoorwaarde \(U(r,0)\)
uit \(u(x,y,z,0)\)
is vrij simpel, want dat is enkel substitutie.Alvast bedankt voor eventuele hulp!
- Fruitschaal.
