Zij
\(a > 0\)
en \(b > 0\)
. Beschouw voor \(u = u(x,t)\)
de vergelijking:\(au_{tt} + u_t = u_{xx}\)
, voor \(0 < x < 1\)
.Met de randvoorwaarden
\(u(0,t) = 0 = u_x(1,t) + bu(1,t)\)
heeft de differentiaalvergelijkingen oplossingen van de vorm \(u(x,t) = T(t)X(x)\)
.Leid een randwaardeprobleem af voor
\(X(x)\)
waarin een paramater \(\lambda\)
voorkomt en laat zien dat er een rij \(\lambda = \lambda_1 < \lambda_2 < ...\)
is waarvoor dit randwaardeprobleem een niet-triviale oplossing \(X_n(x)\)
heeft én laat voor \(m \neq n\)
zien dat:\(\int_0^1 X_n(x)X_m(x) dx = 0\)
[/b]-----
Het leek mij de bedoeling de differentiaalvergelijking te herschrijven door de scheiding van variabelen:
\(aT''(t)X(x) + T'(t)X(x) = T(t)X''(x)\)
.Alles delen door
\(T(t)X(x)\)
:\(a\frac{T''(t)}{T(t)} + \frac{T'(t)}{T(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)}\)
De linkerkant is niet afhankelijk van \(x\)
en de rechterkant niet van \(t\)
, dus dat betekent dat beide kanten constant zijn. Dat levert op:\(\frac{X''(x)}{X(x)} = \lambda\)
, dus \(X''(x) = \lambda X(x)\)
Ik dacht dat \(X(x) = A\cos(\sqrt{\lambda} x) + B\sin(\sqrt{\lambda} x)\)
, maar dan:\(X'(x) = -A\sqrt{\lambda}\sin(\sqrt{\lambda} x) + B\cos(\sqrt{\lambda} x)\)
.\(X''(x) = -A \lambda \cos(\sqrt{\lambda} x) - B\lambda \sin(\sqrt{\lambda} x)\)
Dus dan \(X''(x) = -\lambda X(x)\)
en dat was niet de bedoeling.Hoe vind ik
\(X(x)\)
en die rij \(\lambda_1 < \lambda_2 < ...\)
?Alvast bedankt!
- Fruitschaal.
