[wiskunde] modulorekenen
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 405
modulorekenen
We zijn vandaag begonnen met modulorekenen in de klas. Ik heb de volgende opdracht meegekregen: Wanneer heeft de vergelijking ax = b(mod m)? Ik weet dat er drie streepjes moeten staan ipv = .
Dus als je ax/m moet de rest b zijn als ik dat goed begrepen heb in de les vandaag?
Dus als je ax/m moet de rest b zijn als ik dat goed begrepen heb in de les vandaag?
- Berichten: 2.609
Re: modulorekenen
Ja dat klopt, maar enkel als b < m.angel1995 schreef: ↑do 25 apr 2013, 19:27
Dus als je ax/m moet de rest b zijn als ik dat goed begrepen heb in de les vandaag?
Algemeen is het juister om te zeggen dat ax en b dezelfde rest moeten hebben bij deling door m.
Bijvoorbeeld:
\(8 \equiv 6 \pmod{2}\)
-
- Berichten: 405
Re: modulorekenen
ja maar als je nu een vergelijking met x hebt dan kun je toch oneindig veel waarden in x invullen, er is toch nooit één enkele oplossing?
- Berichten: 10.179
Re: modulorekenen
Als ik je vraag juist begrijp, is het: wanneer heeft ax = b mod m een oplossing. Klopt dat?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
-
- Berichten: 405
Re: modulorekenen
oei mijn vraag is inderdaad niet juist geformuleerd, de vraag moest zijn wanneer heeft ax = b mod m slechts 1 oplossing?Drieske schreef: ↑za 27 apr 2013, 15:53
Als ik je vraag juist begrijp, is het: wanneer heeft ax = b mod m een oplossing. Klopt dat?
- Berichten: 10.179
Re: modulorekenen
Belangrijk hierbij is om te beseffen dat er bedoeld wordt: 1 oplossing in Z/mZ. Snap je wat ik bedoel daarmee? Want daar ligt wel de basis natuurlijk.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
-
- Berichten: 405
Re: modulorekenen
nee sorry dat snap ik niet, met Z bedoel je waarschijnlijk wel de gehele getallen maar ik snap mZ nietDrieske schreef: ↑za 27 apr 2013, 18:23
Belangrijk hierbij is om te beseffen dat er bedoeld wordt: 1 oplossing in Z/mZ. Snap je wat ik bedoel daarmee? Want daar ligt wel de basis natuurlijk.
- Berichten: 10.179
Re: modulorekenen
Met Z bedoel ik inderdaad de gehele getallen . Met Z/mZ bedoel ik de getallen modulo m. Een andere notatie Zm. Die ken je misschien wel? Het punt is vooral: er wordt gevraagd naar een unieke oplossing, modulo m. Als x een oplossing is, dan is x + km (voor elk k) ook een oplossing uiteraard. Maar die behoren allen (modulo m) tot deze zogenaamde equivalentieklasse (namelijk x mod m).
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
-
- Berichten: 405
Re: modulorekenen
sorry maar ik snap er niet zo veel van, ik heb er waarschijlijk nog niet genoeg achtergrond voor, aangezien dit in de klas niet zo uitgebreid werd uitgelegdDrieske schreef: ↑zo 28 apr 2013, 14:06
Met Z bedoel ik inderdaad de gehele getallen . Met Z/mZ bedoel ik de getallen modulo m. Een andere notatie Zm. Die ken je misschien wel? Het punt is vooral: er wordt gevraagd naar een unieke oplossing, modulo m. Als x een oplossing is, dan is x + km (voor elk k) ook een oplossing uiteraard. Maar die behoren allen (modulo m) tot deze zogenaamde equivalentieklasse (namelijk x mod m).
- Berichten: 10.179
Re: modulorekenen
Okee, ben je bekend met de notatie
Nu heb jij de vraag: wanneer heeft
\(\zz_m\)
? Daarmee duidt men de gehele getallen modulo m aan. Ben je verder bekend met de notatie \(\overline{k}\)
? Daarmee noteert men wat men (korter) de verzameling van getallen \(\{k + nm | n \in \zz\}\)
. Vergeet de rest van mijn vorige post ook maar.Nu heb jij de vraag: wanneer heeft
\(ax \equiv b \mod m\)
één oplossing? Dan bedoelt men dus eigenlijk: wanneer is er maar één \(\overline{x}\)
(dus een getal in \(\zz_m\)
) waarvoor bovenstaande geldt? Of nog: je eist dat x ligt tussen 0 en m. Snap je dit een beetje?Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
-
- Berichten: 405
Re: modulorekenen
Ik heb mijn notities er eens bijgenomen en daarin heb ik inderdaad de notitieDrieske schreef: ↑zo 28 apr 2013, 14:27
Okee, ben je bekend met de notatie\(\zz_m\)? Daarmee duidt men de gehele getallen modulo m aan. Ben je verder bekend met de notatie\(\overline{k}\)? Daarmee noteert men wat men (korter) de verzameling van getallen\(\{k + nm | n \in \zz\}\). Vergeet de rest van mijn vorige post ook maar.
Nu heb jij de vraag: wanneer heeft\(ax \equiv b mod m\)één oplossing? Dan bedoelt men dus eigenlijk: wanneer is er maar één\(\overline{x}\)(dus een getal in\(\zz_m\)) waarvoor bovenstaande geldt? Of nog: je eist dat x ligt tussen 0 en m. Snap je dit een beetje?
\(\zz_m\)
in teruggevonden. Ook dit \(\overline{k}\)
heb ik teruggevonden. Bij ons werd het congruentieklasse genoemd en het is de verzameling van alle getallen die congruent zijn aan x mod m. Maar congruentie ken ik eigenlijk alleen maar uit de meetkunde. Ik denk dat ik de laatste 3 lijntjes ook wel snap. Die x staat toch voor de inverse van a toch?- Berichten: 10.179
Re: modulorekenen
Onthou hier dan gewoon dat het eigenlijk neerkomt op die verzameling die ik in mijn vorige post gaf. Of dus: de gehele getallen met rest k na deling door m behoren allen tot dezelfde congruentieklasse.angel1995 schreef: ↑zo 28 apr 2013, 18:01
Maar congruentie ken ik eigenlijk alleen maar uit de meetkunde.
Waarom denk je dat x de inverse van a moet zijn? Je wilt toch oplossingen x zoeken zodat ax = b mod m geldt?
Ik denk dat ik de laatste 3 lijntjes ook wel snap. Die x staat toch voor de inverse van a toch?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
-
- Berichten: 405
Re: modulorekenen
ja klopt inderdaad, x is enkel de inverse van a als b = 1.Drieske schreef: ↑zo 28 apr 2013, 18:06
Onthou hier dan gewoon dat het eigenlijk neerkomt op die verzameling die ik in mijn vorige post gaf. Of dus: de gehele getallen met rest k na deling door m behoren allen tot dezelfde congruentieklasse.
Waarom denk je dat x de inverse van a moet zijn? Je wilt toch oplossingen x zoeken zodat ax = b mod m geldt?
- Berichten: 10.179
Re: modulorekenen
Als die inverse al bestaat dan . Maar goed, terug naar de vraag "1 oplossing voor ax = b mod m". Enig idee hoe te beginnen?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
-
- Berichten: 405
Re: modulorekenen
Ik weet dat als de ggd (a,m) = 1 er altijd een oplossing is en (2) als de ggd(a,m) een deler van b is, is er ook een oplossing is, maar in deze gevallen is er meestal meer dan 1 oplossing. Maar er moet toch zowiezo aan voorwaarde (2) voldaan worden?Drieske schreef: ↑zo 28 apr 2013, 18:30
Als die inverse al bestaat dan . Maar goed, terug naar de vraag "1 oplossing voor ax = b mod m". Enig idee hoe te beginnen?