[wiskunde] differentiaalvergelijking

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 18-05-'13, 10:59

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

differentiaalvergelijking

"Beschouw volgende beginvoorwaarde probleem:

n: R+ -> R+: t |-> n(t)

n'(t) =
\( \frac {n(t)}{1000}.(100 - n(t)) - 1,6 \)
n(0) = n0"

Ik zie niet onmiddellijk in hoe ik deze kan oplossen. Zou iemand mij hiermee kunnen helpen ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 18-05-'13, 13:00

Marko

Gebruikersavatar
Berichten: 10.561

Re: differentiaalvergelijking

Werk de rechterkant uit, dan zie je dat er een vergelijking van de vorm an2 + bn + c staat die je kunt ontbinden in factoren.

Als je beide zijden vermenigvuldigt met 1000 is het eenvoudig te zien.
Cetero censeo Senseo non esse bibendum
Omhoog

Bericht 18-05-'13, 14:08

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: differentiaalvergelijking

Men kan het rechterlid inderdaad ontbinden in factoren. Men krijgt dan iets van de vorm:

n'(t) = (n(t) - a).(n(t) - b)

Of dus:
\( \frac {n'(t)}{(n(t) -a).(n(t) - b)} = 1 \)
\( \int \frac {dn}{(n(t) -a).(n(t) - b)} = \int 1 dt \)
Maar hier ben ik precies niet veel mee.
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 18-05-'13, 14:25

mathfreak

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 3.505

Re: differentiaalvergelijking

Pas bij de linkerintegraal eens partiële breuksplitsing toe.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel
Omhoog

Bericht 18-05-'13, 15:38

Biesmansss

Gebruikersavatar
Berichten: 1.201

Re: differentiaalvergelijking

Ik heb het verder uitgewerkt m.b.v. partiëel breuken, maar volgens mij maak ik ergens nog een foutje. Kan iemand mij vertellen waar ?

Concreet krijg ik het volgende:

-1000.n' = n² - 100.n + 1600 = (n - 80).(n - 20)
\( \frac {-1000}{(n-80).(n-20)} n' = 1 \)
Wanneer we beide leden integeren vinden we:
\( \int \frac {-1000}{(n-80).(n-20)} dn = \int 1 dt \)
nu is:
\( \frac {1}{(n-80).(n-20)} = \frac {A}{n - 80} + \frac{B}{n - 20} \)
(met A, B ∈ R)

1 = A.(n - 20) + b.(n - 80) = (A + B)n - 20A - 80B

Dit geeft volgend stelsel

A + B = 0

-20A - 80B = 1

Hieruit volgt:
\( A = \frac{1}{60}, B = \frac {-1}{60} \)
Dus:
\( \int \frac {-1000}{(n-80).(n-20)} dn = -1000 \int \frac {dn}{60(n - 80)} + 1000 \int \frac {dn}{60(n - 20)} = \int 1 dt \)
\( \frac {-50}{3} ln(n - 80) + \frac {50}{3} ln(n - 20) = t + C \)
(met C ∈ R)

Wanneer we op beide leden exp toepassen vinden we:

(n - 80)(-50/3).(n - 20)(50/3) = et + C
\( \frac {(n - 20)^{50/3}}{(n - 80)^{50/3}} = e^{t + C} \)
\( 1 - \frac {40}{n + 20} = e^{t + C} \)
\( n(t) = \frac {40}{1 - e^{t + C}} - 20\)
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
Omhoog

Bericht 18-05-'13, 19:21

Marko

Gebruikersavatar
Berichten: 10.561

Re: differentiaalvergelijking

Ik begrijp niet helemaal hoe je van
\( \frac {(n - 20)^{50/3}}{(n - 80)^{50/3}} = e^{t + C} \)
naar
\( 1 - \frac {40}{n + 20} = e^{t + C} \)
gaat?
Cetero censeo Senseo non esse bibendum
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”