Springen naar inhoud

Deelruimte bepalen aan de hand van een basis.



  • Log in om te kunnen reageren

#1

dawdaw007

    dawdaw007


  • 0 - 25 berichten
  • 18 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 24 mei 2013 - 17:06

Hey iedereen.
Ik heb maandag examen wiskunde en op een bundel oude examenvragen (zonder antwoord welteverstaan) heb ik een paar vragen gevonden waar ik echt geen weg mee weet. Misschien kunnen jullie helpen.

Vraag 1:

Geef een deelruimte van R³ waarvan de basis gegeven wordt door
A = {(1, 2, 3),(3, 2, 1)}.

Nu weet ik wat een basis en deelruimt is en hoe ik eraan kom / kan bewijzen dat het om een basis/deelruimte gaat. Maar hier ben ik verloren. Ik heb een hoop zitten prutsen en kon niets vinden.
Is er misschien een algemene methode om dit soort vragen op te lossen?

Vraag 2:

Zoek een deelruimte van R4 zodat:
(1, 2, 3, 4) geen element is en
(-1, 0, 5, 0) tot een basis behoort.

Volgens mij is dit niet oplosbaar omdat (-1, 0, 5, 0) gewoonweg geen onderdeel van een basis kan zijn. Moest x = -5z zou de basis gewoon (1, 0, -5, 0) zijn.

Vraag 3:

Bepaal een basis van de volgende deelruimte in R³:

D = { (X+Y, y-z+t, x+z) | x,y,z,t zijn elementen van R).

Ik kom (x, -x, -x) uit, dus (1, -1, -1). Nu staat op mijn blad: (-x, 0, -x).

Dit is de oplossing van iemand anders (examenvragen zijn van 2004 dus voor mijn tijd) en ik zie niet in hoe dit juist kan zijn, y is toch helemaal niet 0? En die wil toch zeggen dat x = -x, wat enkel geldt bij 0.
Of ben ik helemaal in de war?


Alvast bedankt voor jullie tijd,

Groetjes,
Dawid

Veranderd door dawdaw007, 24 mei 2013 - 17:07


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 24 mei 2013 - 17:09

We zullen het maar vraag voor vraag doen...

Geef een deelruimte van R³ waarvan de basis gegeven wordt door
A = {(1, 2, 3),(3, 2, 1)}.

Nu weet ik wat een basis en deelruimt is en hoe ik eraan kom / kan bewijzen dat het om een basis/deelruimte gaat. Maar hier ben ik verloren. Ik heb een hoop zitten prutsen en kon niets vinden.
Is er misschien een algemene methode om dit soort vragen op te lossen?

Wat is een deelruimte? Eens je dat hebt ben je er eigenlijk al. Immers, je weet al wat je basis moet zijn.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

dawdaw007

    dawdaw007


  • 0 - 25 berichten
  • 18 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 24 mei 2013 - 19:42

Een deelruimte D is een deel van de ruimte R3 die op zich een vectorruimte is. Dit is het geval wanneer

λ1w1 + λ 2w2 + λ3 w3 opnieuw een element is van D.

De basis herschreven:
x+ 3 z
2x +2 z
3x + z

Dus dit, vermenigvuldigd met een willekeurig getal uit R, zou dan mijn deelruimte vormen. Anders geschreven:

D = { x - 3z = 0, 2x - y + 2z = 0, 3x - z = 0) element van R. Maar dit klopt niet want x = 3z en x = 1/3 z kan enkel als x = z = 0... ik kan hier geen sluitende vergelijking voor vinden...

#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 24 mei 2013 - 19:55

Ik snap eerlijk gezegd echt niet wat je plots met die nul komt doen...
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#5

dawdaw007

    dawdaw007


  • 0 - 25 berichten
  • 18 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 24 mei 2013 - 20:10

Hiermee bedoel ik dat die vergelijking enkel kan kloppen als x = z = 0 dus fout is (want geen deelruimte). Het probleem is dat ik niet weet wat ik met die basis moet aanvangen.

x+ 3 z
2x +2 z
3x + z

Wat ik hier zie is dat de eerste en de derde regel zich als het ware tegenspreken als ik gelijkstel aan 0.
Of heb ik het helemaal mis en is dit op zich als een deelruimte van R3? (dus zonder specifiek een y te vermelden)

#6

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 24 mei 2013 - 20:23

Mja, neem eens andere symbooltjes, voor het overzicht. Dan weet je dus dat jouw deelruimte bestaat uit alle vectoren die geschreven kunnen worden als A(1, 2, 3) + B(3, 2, 1) = (A + 3B, 2A + 2B, 3A + B). Nu is er toch geen enkele reden om dat gelijk aan nul te gaan stellen?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#7

dawdaw007

    dawdaw007


  • 0 - 25 berichten
  • 18 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 24 mei 2013 - 22:00

Inderdaad. Vind het nog steeds verwarrend, hopelijk kruipt er tegen maandag wat overzicht in. Alvast bedank voor de eerste vraag :)

#8

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 24 mei 2013 - 22:58

Geen probleem.

Vraag 2:

Zoek een deelruimte van R4 zodat:
(1, 2, 3, 4) geen element is en
(-1, 0, 5, 0) tot een basis behoort.

Volgens mij is dit niet oplosbaar omdat (-1, 0, 5, 0) gewoonweg geen onderdeel van een basis kan zijn. Moest x = -5z zou de basis gewoon (1, 0, -5, 0) zijn.

Hier kom je weer met die 0 af. Waarom?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#9

dawdaw007

    dawdaw007


  • 0 - 25 berichten
  • 18 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 25 mei 2013 - 09:23

Wel, om een basis te kunnen vormen moet je zo weinig mogelijk "onbekenden" overhouden. Dus de ene in functie van de andere schrijven. Nu is het mijn idee dat dit moet door de vectoren gelijk te stellen aan nul en dit stelsel zo ver mogelijk uit te werken. Dis is blijkbaar fout :P

Wat in bovenstaande vraag lees is: aangezien (-1, 0, 5, 0) een element van de basis is, moet -C geschreven kunnen worden als 5A.

Dit terzijde. Op dezelfde manier als hierboven: A(-1, 0, 5, 0) = (-A, 0, 5A, 0). (1,2,3,4) is hier duidelijk geen onderdeel van.
Toch staat er dat de eerste vector tot de basis BEHOORT. IK kan dus geen volledige deelruimte afbakenen met deze gegevens...

#10

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 25 mei 2013 - 09:38

Mja, het lijkt me in dit geval aangewezen eerst naar de basis terug te grijpen. Je hebt deze duidelijk nog niet onder controle.

Wat een deelruimte is, begrijp je? Wat is nu een basis van een deelruimte? Intuïtief is het een stel vectoren waarin er niet eentje overbodig is en ze samen elke andere vector uit je deelruimte kunnen vormen. Wiskundiger betekent dit dat je vectoren lineair onafhankelijk (LO) en voortbrengend zijn. Kijken we naar een voorbeeld; bijv de deelruimte D = {(x, y, 0) | x, y in R} van R³, dan kunnen we ons dus afvragen wat hier een basis is. Zou bijv {(1, 0, 0), (0, 1, 0)} een basis vormen? Ja. Want, ten eerste gaan we LO na: stel A(1, 0, 0) + B(0, 1, 0) = (0, 0, 0), dan moet duidelijk A=B=0 en dus LO. Is dit voortbrengend, maw kan elke vector uit D geschreven worden als combinatie van deze twee vectoren? Ja, want neem een willekeurige vector uit D, deze is van de vorm (x, y, 0) en dat kan geschreven worden als x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) en dus OK. Is een basis uniek? Neen! Andere opties waren mogelijk, bijv {(1, 0, 0), (1, 1, 0)}. Kan je dit nagaan? Is {(1, 0, 1), (0, 1, 0)} ook een basis?

PS: (1, 2, 3, 4) moet niet tot je deelruimte behoren. Maar daar komen we later nog toe. Bovendien zeggen ze ook niet dat je basis enkel (-1, 0, 5, 0) is.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#11

dawdaw007

    dawdaw007


  • 0 - 25 berichten
  • 18 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 26 mei 2013 - 09:08

Dus is {(1, 0, 1), (0, 1, 0)} een basis voor D = {(x, y, 0) | x, y in R} van R³

L.O.: A ( 1, 0, 1) + B (0,1, 0) = (0,0,0) duidelijk wel want A en B zijn nul.
Voortb.: A ( 1, 0, 1) + B (0,1, 0) = (a,b,c). Met abc element van R.
A = a, B = b, A = c. Niet voortbrengend want geldt enkel indien a = c. Dit is niet het geval voor alle elementen van R dus je kan niet elke vector uit D hiermee voortbrengen.

Nu dit snap ik nog. Maar omgekeerd krijg ik het moeilijk. Ik begrijp ook wel dat (-1, 0, 5, 0) enkel één van de elementen in mijn basis is.

Dus A (-1, 0, 5, 0) + (andere onbekende elementen uit de basis) = (v) (v=willekeurige vector uit D)
Dus A (-1, 0, 5, 0) + (andere onbekende elementen uit de basis) = (0, 0, 0, 0)
en A (-1, 0, 5, 0) + (andere onbekende elementen uit de basis) = (a, b, c, d)
en A (-1, 0, 5, 0) + (andere onbekende elementen uit de basis) =/= (1, 2, 3, 4).

Maar zou een D = {(-x, y, 5x + y, t) | x, y, z, t in R} geen deelruimte overeenkomstig met de opgave? (-1, 0, 5, 0) is alleszins een basisvector en (1, 2, 3, 4) is er geen element van. Deze is ook LO en voortbrengend als ik goed heb geteld.






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures