Springen naar inhoud

Waarom is dit een vectorieel isomorfisme?



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Kwintendr

    Kwintendr


  • >250 berichten
  • 768 berichten
  • VIP

Geplaatst op 25 mei 2013 - 13:04

Hallo,

Beschouw de lineaire afleidingsoperator D als lineaire transformatie tussen de veeltermen van graad k en graad k-1. In de eerste ruimte neem je als basis B={1,x,x^2,...,x^k} en in de 2de {1,x,x^2,...,x^(k-1)}. Dan hebben we dat

D(1) = 0*1 + 0*x + 0*x^2+...
D(2) = 1*1 + 0*x + 0*x^2+...
D(3) = 0*1 + 2*x + 0*x^2+...
D(4) = 0*1 + 0*x + 3*x^2+...

We kunnen dit in een matrix zetten. Voor k=4 zou dit zijn:

1234.png

Dit is een lineaire transformatie, maar naar het schijnt ook een vectorieel isomorfisme?

Hoe ik redeneer:

Voor een isomorfisme moet er injectiviteit en surjectiviteit gelden. Maar dan moeten de dimensies toch gelijk zijn wat hier niet het geval is?

Veranderd door Kwintendr, 25 mei 2013 - 13:07

Het Wetenschapsforum heeft ook een facebook pagina!

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 25 mei 2013 - 13:30

Allereerst, kan het zijn dat je notatie slecht is? Bedoel je dat D(1) = 0, D(x) = 1, D() = 2x, ...? Merk dan op: dit is de afgeleide alleen niet zo benoemd ;).
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

Kwintendr

    Kwintendr


  • >250 berichten
  • 768 berichten
  • VIP

Geplaatst op 25 mei 2013 - 13:38

Ja, typfoutjes van mij. Dat moet inderdaad D(x), D(x²) zijn enz. Dat is inderdaad de afgeleide. Maar als je nu 2 afleid of 3 afleid of 4 afleid, dan komt je toch bij alle 3 uit op 0 waardoor het geen injectie is?

Wat ik versta onder injectie: geen 2 verschillende elementen hebben hetzelfde beeld.
Het Wetenschapsforum heeft ook een facebook pagina!

#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 25 mei 2013 - 13:52

Dat is zeker niet injectief (wel surjectief): elke functie die op een constante verschilt geeft dezelfde afgeleide.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#5

Kwintendr

    Kwintendr


  • >250 berichten
  • 768 berichten
  • VIP

Geplaatst op 25 mei 2013 - 13:56

welja, waarom is het dan een isomorfisme? Voor een isomorfisme moet er toch injectiviteit gelden?
Het Wetenschapsforum heeft ook een facebook pagina!

#6

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 25 mei 2013 - 14:15

Dat is ook geen isomorfisme. Net om de reden hierboven aangehaald.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#7

Kwintendr

    Kwintendr


  • >250 berichten
  • 768 berichten
  • VIP

Geplaatst op 25 mei 2013 - 14:17

Maar in mijn cursus staat van wel? Er staat: A is een vectorieel isomorfisme.
Het Wetenschapsforum heeft ook een facebook pagina!

#8

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 25 mei 2013 - 14:29

Ben je zeker dat er niets extra is? Bijv: als je de constante term niet toestaat (i.e. je stelt hem 0), dan is het een isomorfisme.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#9

Kwintendr

    Kwintendr


  • >250 berichten
  • 768 berichten
  • VIP

Geplaatst op 25 mei 2013 - 15:28

Zo iets staat er niet. Er wordt exact gezegd wat ik hier heb geschreven. Niet meer en niet minder. Ik heb eens wikipedia goed doorgelezen en daar stond dit:

In de lineaire algebra spreekt men wel van vectorruimte-isomorfismen. Veronderstel dat Geplaatste afbeelding en Geplaatste afbeelding twee vectorruimten zijn. Een vectorruimte-isomorfisme van Geplaatste afbeelding naar Geplaatste afbeelding is dan een morfisme van vectorruimten Geplaatste afbeelding, zo dat er een invers morfisme van vectorruimten Geplaatste afbeelding bestaat waarvoor voldaan is aan de relaties Geplaatste afbeeldingen Geplaatste afbeelding. In het bijzonder zijn de vectorruimte-isomorfismen bijectieve vectorruimte-morfismen. Indien het duidelijk is dat er met vectorruimten wordt gewerkt, spreekt men ook gewoonweg van morfismen en isomorfismen.

Wat hier uiteraard het geval is want A is inverteerbaar. Klopt het wat ik zeg?

Bron: wikipedia.nl
Het Wetenschapsforum heeft ook een facebook pagina!

#10

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 25 mei 2013 - 15:49

Wat is dan jouw inverse? Je kunt toch nooit een matrix B vinden zodat BA = 1 met (1 de identieke matrix)? Immers, zij B willekeurig, i.e.
LaTeX
dan is
LaTeX . Dus altijd een 0 op plaats (1, 1).

Ook logisch en strokend met jouw intuïtie: leid een functie af en integreer ze dan. Vind je je oorspronkelijke functie? Neen, die verschilt op een constante.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#11

Kwintendr

    Kwintendr


  • >250 berichten
  • 768 berichten
  • VIP

Geplaatst op 25 mei 2013 - 16:07

Ja, je hebt gelijk. Ik moet dan iets vergeten te zeggen. In de bijlagen vind je de scans van de cursus. Het begint vanonder op de eerste pagina bij dat voorbeeld en loopt nog een beetje door op de 2de pagina.

Bijgevoegde miniaturen

  • SCAN0050.JPG
  • SCAN0051.JPG
Het Wetenschapsforum heeft ook een facebook pagina!

#12

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 25 mei 2013 - 16:12

Even een vraagje, met L(V, W) bedoel je toch de lineaire transformaties van V naar W hè? En F is een veld?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#13

Kwintendr

    Kwintendr


  • >250 berichten
  • 768 berichten
  • VIP

Geplaatst op 25 mei 2013 - 16:15

ja, inderdaad
Het Wetenschapsforum heeft ook een facebook pagina!

#14

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 25 mei 2013 - 16:22

Je bekijkt het te eng. Zij namen een voorbeeld, de operator D en associeerden daaraan een matrix mBB(D) die uitdrukt wat er gebeurt met de basiselementen. Maar dat was een voorbeeld hè. Wat ze nu doen is dat breder trekken: voor elke transformatie T kun je zo'n matrix mBB(T) beschouwen. Snap je dat?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#15

Kwintendr

    Kwintendr


  • >250 berichten
  • 768 berichten
  • VIP

Geplaatst op 25 mei 2013 - 16:24

Als de dat breder trekken dan moet dat toch ook gelden voor deze matrix?
Het Wetenschapsforum heeft ook een facebook pagina!






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures