Springen naar inhoud

Vraag bij lastige integraal


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Th.B

    Th.B


  • >250 berichten
  • 523 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 30 mei 2013 - 18:43

Beste forumleden,

Ik zit met de volgende integraal:

cos(2x) / (1 - cos (x))2 met als ondergrens 0 en bovengrens 2pi

Een online integral calculator gaf een verschrikkelijke primitieve, dus ik heb besloten om het probleem aan te pakken met complexe functietheorie. Ik kan op dit moment niet mijn volledige uitwerking posten, maar dit is wat ik heb gedaan:
--cosinussen omschrijven naar complexe exponenten
--substitutie van z = exp (ix)
--uitwerken van teller en noemer geeft z = 1 en z = -1 als polen van orde 2
--residuen berekenen geeft +2 en -2

Volgens de residustelling is deze integraal dus 0, maar dat klopt totaal niet met wat ik met mijn GRM (niet exact dus) vind: hij lijkt te divergeren (er zijn asymptoten op x = 0 en x = 2pi).

Heb ik gelijk in dat laatste, en zo ja weet iemand daar een bewijs voor? Of heb ik ergens een fout gemaakt?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

tempelier

    tempelier


  • >1k berichten
  • 1765 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 30 mei 2013 - 19:07

Ik zou dit proberen:

LaTeX

stel LaTeX en ga breuk splitsen naar p

Lijkt me dat dat moet werken, maar het is wel wat werk.

Veranderd door tempelier, 30 mei 2013 - 19:07

In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

#3

JorisL

    JorisL


  • >250 berichten
  • 555 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 30 mei 2013 - 19:09

De divergentie lijkt te kloppen. Ook wolframalpha geeft dat resultaat.
http://www.wolframal...2 from 0 to 2Pi

Op het zicht kan ik me daar ook in vinden.

Als je nu nog je uitwerking met de residustelling kan posten, kunnen we ook daar nog helpen.
Het is altijd goed om je fouten te verbeteren/kennen.

Edit: link aangepast. Kwadraat was niet goed doorgekomen bij wolfram.

@Tempelier
Dan krijg je toch nog steeds een term LaTeX in je integrandum, dus hoe zou je die dan wegwerken?

Veranderd door JorisL, 30 mei 2013 - 19:13


#4

tempelier

    tempelier


  • >1k berichten
  • 1765 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 30 mei 2013 - 19:59

Ik heb de primitieve wel gevonden maar daar wordt je vast niet vrolijker van.

LaTeX

Veranderd door tempelier, 30 mei 2013 - 20:00

In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

#5

Th.B

    Th.B


  • >250 berichten
  • 523 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 30 mei 2013 - 20:27

Dankjewel tempelier, voor je snelle reactie. Ik vind dat het nog wel meevalt met die primitieve, zeker in die vorm. Rest nog steeds de vraag of dat divergeert of niet.
@JorisL ik heb hem net nog nagekeken en weet toch nagenoeg zeker dat hij foutloos is. Ik heb de uitwerking alleen schriftelijk en een foto ervan maken en die uploaden naar mijn pc kost me iets teveel moeite.

Th.B

#6

tempelier

    tempelier


  • >1k berichten
  • 1765 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 30 mei 2013 - 20:55

Ik heb de primitieve wel gevonden maar daar wordt je vast niet vrolijker van.

LaTeX



Zie net dat ik een term 2x vergeten ben.

dat geeft dan:

LaTeX

sorry hoor. :oops:

Veranderd door tempelier, 30 mei 2013 - 20:56

In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

#7

Th.B

    Th.B


  • >250 berichten
  • 523 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 30 mei 2013 - 20:59

Okee, maar hoe bewijs ik divergentie van de integraal?

#8

JorisL

    JorisL


  • >250 berichten
  • 555 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 30 mei 2013 - 21:04

die volgt uit de tangens termen. Als je nu de limiet neemt naar 0 resp LaTeX , ben je er.
Dit zou je altijd zo moeten schrijven omdat je met een oneigenlijke integraal te doen hebt (ruwweg: asymptotisch in de grenzen)

#9

Th.B

    Th.B


  • >250 berichten
  • 523 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 30 mei 2013 - 21:48

Okee dankjewel, ik heb hem!

#10

JorisL

    JorisL


  • >250 berichten
  • 555 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 30 mei 2013 - 21:56

Ik heb trouwens gekeken met de residu-stelling. Ik kom daar op het eerste zicht ook 0(na berekening met wolfram) uit.
Nu vraag ik me af of alle voorwaarden voldaan zijn.

Iemand die hier iets meer over kan vertellen? Het zit al wat ver en zo ver ben ik er niet op in gegaan.

#11

Axioma91

    Axioma91


  • >250 berichten
  • 264 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 31 mei 2013 - 17:26

Ik heb trouwens gekeken met de residu-stelling. Ik kom daar op het eerste zicht ook 0(na berekening met wolfram) uit.
Nu vraag ik me af of alle voorwaarden voldaan zijn.

Iemand die hier iets meer over kan vertellen? Het zit al wat ver en zo ver ben ik er niet op in gegaan.

Dan moet je je gekozen contour eens laten zien. Ook de waarde van de integraal over het niet-relevante stuk van de contour. Alle residuen optellen werkt niet (als je geen geluk hebt). Meestal is het handig wanneer je de integraal van (bijv) de boog kunt afschatten en je een integraal over de halve of hele reele as wilt berekenen.

#12

JorisL

    JorisL


  • >250 berichten
  • 555 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 31 mei 2013 - 18:57

Ik zit er niet meer echt in dus waarschijnlijk is mijn volledige uitwerking fout geweest, zie ik nu.
Ik had het vooral over het feit dat in de OP wordt vermeld dat hij het zo geprobeerd heeft. En er volgens hem geen fouten gemaakt werden in de uitwerking wat op een contradictie wijst.

Ik had uiteindelijk gewoon een cirkel gebruikt trouwens.

#13

Axioma91

    Axioma91


  • >250 berichten
  • 264 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 31 mei 2013 - 22:44

Ik zit er niet meer echt in dus waarschijnlijk is mijn volledige uitwerking fout geweest, zie ik nu.
Ik had het vooral over het feit dat in de OP wordt vermeld dat hij het zo geprobeerd heeft. En er volgens hem geen fouten gemaakt werden in de uitwerking wat op een contradictie wijst.

Ik had uiteindelijk gewoon een cirkel gebruikt trouwens.

Je wilt uiteindelijk integreren over [0,2pi), dus dan moet je een contour vinden waar dat interval in zit (of nadert als je een limiet neemt). Je kunt de integraal over een cirkel uitrekenen met residuen, maar daarmee zeg je niets over de integraal waar het hier om gaat.

Hier staat een voorbeeldje uitgewerkt http://en.wikipedia....Residue_theorem (ze schatten de integraal van het stuk over de boog af en laten dan de straal naar oneindig gaan). Dat afschatten kan/moet in jullie voorbeeld niet, omdat je niet over (-infty,infty) integreert.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures