Beste forumleden,
Ik zit met de volgende integraal:
cos(2x) / (1 - cos (x))2 met als ondergrens 0 en bovengrens 2pi
Een online integral calculator gaf een verschrikkelijke primitieve, dus ik heb besloten om het probleem aan te pakken met complexe functietheorie. Ik kan op dit moment niet mijn volledige uitwerking posten, maar dit is wat ik heb gedaan:
--cosinussen omschrijven naar complexe exponenten
--substitutie van z = exp (ix)
--uitwerken van teller en noemer geeft z = 1 en z = -1 als polen van orde 2
--residuen berekenen geeft +2 en -2
Volgens de residustelling is deze integraal dus 0, maar dat klopt totaal niet met wat ik met mijn GRM (niet exact dus) vind: hij lijkt te divergeren (er zijn asymptoten op x = 0 en x = 2pi).
Heb ik gelijk in dat laatste, en zo ja weet iemand daar een bewijs voor? Of heb ik ergens een fout gemaakt?
Laatste berichten
-
16:45
wig 8
-
15:56
Programmeren met vectoren 6
-
14:53
Straatklok loopt 5 minuten voor 12
-
23:12
speciale rel. theorie 10
-
22:36
Gravity and gravitation 4
-
22:24
[scheikunde] vraag Chemie - wat is de oplossing? 10
-
19:47
Bruine vlekken op treinaanwijzerbord 10
-
19:44
Vogels in de stad zijn goede klussers 2
-
19:12
Rood laserlicht 3
-
25 apr
Herleiden afmetingen vanaf een foto 21
-
25 apr
[wiskunde] Prijs Product per KG; Alternatief Inzicht 3
-
25 apr
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 9
-
25 apr
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 17
-
25 apr
[natuurkunde] kroon van koning op Syracuse 10
-
25 apr
2013 – Augustus Vraag 3 3
-
24 apr
Vraag 2009 Juli Vraag 5 5
-
24 apr
positie 2
-
24 apr
Schroefdraad berekening 8
-
24 apr
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 9
-
23 apr
Weerfrustratie 9
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
Vraag bij lastige integraal
-
- Berichten: 4.320
Re: Vraag bij lastige integraal
Ik zou dit proberen:
Lijkt me dat dat moet werken, maar het is wel wat werk.
\(\cos (2x) = 2\cos^2 x - 1 \)
stel \(\cos x =p \)
en ga breuk splitsen naar pLijkt me dat dat moet werken, maar het is wel wat werk.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.
-
- Berichten: 555
Re: Vraag bij lastige integraal
De divergentie lijkt te kloppen. Ook wolframalpha geeft dat resultaat.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+cos%282x%29+%2F+%281+-+cos+%28x%29%29%5E2+from+0+to+2Pi
Op het zicht kan ik me daar ook in vinden.
Als je nu nog je uitwerking met de residustelling kan posten, kunnen we ook daar nog helpen.
Het is altijd goed om je fouten te verbeteren/kennen.
Edit: link aangepast. Kwadraat was niet goed doorgekomen bij wolfram.
@Tempelier
Dan krijg je toch nog steeds een term
http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+cos%282x%29+%2F+%281+-+cos+%28x%29%29%5E2+from+0+to+2Pi
Op het zicht kan ik me daar ook in vinden.
Als je nu nog je uitwerking met de residustelling kan posten, kunnen we ook daar nog helpen.
Het is altijd goed om je fouten te verbeteren/kennen.
Edit: link aangepast. Kwadraat was niet goed doorgekomen bij wolfram.
@Tempelier
Dan krijg je toch nog steeds een term
\(\sin x\)
in je integrandum, dus hoe zou je die dan wegwerken?-
- Berichten: 4.320
Re: Vraag bij lastige integraal
Ik heb de primitieve wel gevonden maar daar wordt je vast niet vrolijker van.
\(\frac{1} {2 \tan \frac{x}{2}} - \frac{1} {6 \tan^3 \frac{x}{2}}\)
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.
-
- Berichten: 546
Re: Vraag bij lastige integraal
Dankjewel tempelier, voor je snelle reactie. Ik vind dat het nog wel meevalt met die primitieve, zeker in die vorm. Rest nog steeds de vraag of dat divergeert of niet.
@JorisL ik heb hem net nog nagekeken en weet toch nagenoeg zeker dat hij foutloos is. Ik heb de uitwerking alleen schriftelijk en een foto ervan maken en die uploaden naar mijn pc kost me iets teveel moeite.
Th.B
@JorisL ik heb hem net nog nagekeken en weet toch nagenoeg zeker dat hij foutloos is. Ik heb de uitwerking alleen schriftelijk en een foto ervan maken en die uploaden naar mijn pc kost me iets teveel moeite.
Th.B
-
- Berichten: 4.320
Re: Vraag bij lastige integraal
Zie net dat ik een term 2x vergeten ben.tempelier schreef: ↑do 30 mei 2013, 20:59
Ik heb de primitieve wel gevonden maar daar wordt je vast niet vrolijker van.
\(\frac{1} {2 \tan \frac{x}{2}} - \frac{1} {6 \tan^3 \frac{x}{2}}\)
dat geeft dan:
\(2x+\frac{1} {2 \tan \frac{x}{2}} - \frac{1} {6 \tan^3 \frac{x}{2}}\)
sorry hoor. 
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.
-
- Berichten: 546
Re: Vraag bij lastige integraal
Okee, maar hoe bewijs ik divergentie van de integraal?
-
- Berichten: 555
Re: Vraag bij lastige integraal
die volgt uit de tangens termen. Als je nu de limiet neemt naar 0 resp
Dit zou je altijd zo moeten schrijven omdat je met een oneigenlijke integraal te doen hebt (ruwweg: asymptotisch in de grenzen)
\(2\pi\)
, ben je er.Dit zou je altijd zo moeten schrijven omdat je met een oneigenlijke integraal te doen hebt (ruwweg: asymptotisch in de grenzen)
-
- Berichten: 555
Re: Vraag bij lastige integraal
Ik heb trouwens gekeken met de residu-stelling. Ik kom daar op het eerste zicht ook 0(na berekening met wolfram) uit.
Nu vraag ik me af of alle voorwaarden voldaan zijn.
Iemand die hier iets meer over kan vertellen? Het zit al wat ver en zo ver ben ik er niet op in gegaan.
Nu vraag ik me af of alle voorwaarden voldaan zijn.
Iemand die hier iets meer over kan vertellen? Het zit al wat ver en zo ver ben ik er niet op in gegaan.
-
- Berichten: 264
Re: Vraag bij lastige integraal
Dan moet je je gekozen contour eens laten zien. Ook de waarde van de integraal over het niet-relevante stuk van de contour. Alle residuen optellen werkt niet (als je geen geluk hebt). Meestal is het handig wanneer je de integraal van (bijv) de boog kunt afschatten en je een integraal over de halve of hele reele as wilt berekenen.JorisL schreef: ↑do 30 mei 2013, 22:56
Ik heb trouwens gekeken met de residu-stelling. Ik kom daar op het eerste zicht ook 0(na berekening met wolfram) uit.
Nu vraag ik me af of alle voorwaarden voldaan zijn.
Iemand die hier iets meer over kan vertellen? Het zit al wat ver en zo ver ben ik er niet op in gegaan.
-
- Berichten: 555
Re: Vraag bij lastige integraal
Ik zit er niet meer echt in dus waarschijnlijk is mijn volledige uitwerking fout geweest, zie ik nu.
Ik had het vooral over het feit dat in de OP wordt vermeld dat hij het zo geprobeerd heeft. En er volgens hem geen fouten gemaakt werden in de uitwerking wat op een contradictie wijst.
Ik had uiteindelijk gewoon een cirkel gebruikt trouwens.
Ik had het vooral over het feit dat in de OP wordt vermeld dat hij het zo geprobeerd heeft. En er volgens hem geen fouten gemaakt werden in de uitwerking wat op een contradictie wijst.
Ik had uiteindelijk gewoon een cirkel gebruikt trouwens.
-
- Berichten: 264
Re: Vraag bij lastige integraal
Je wilt uiteindelijk integreren over [0,2pi), dus dan moet je een contour vinden waar dat interval in zit (of nadert als je een limiet neemt). Je kunt de integraal over een cirkel uitrekenen met residuen, maar daarmee zeg je niets over de integraal waar het hier om gaat.JorisL schreef: ↑vr 31 mei 2013, 19:57
Ik zit er niet meer echt in dus waarschijnlijk is mijn volledige uitwerking fout geweest, zie ik nu.
Ik had het vooral over het feit dat in de OP wordt vermeld dat hij het zo geprobeerd heeft. En er volgens hem geen fouten gemaakt werden in de uitwerking wat op een contradictie wijst.
Ik had uiteindelijk gewoon een cirkel gebruikt trouwens.
Hier staat een voorbeeldje uitgewerkt http://en.wikipedia.org/wiki/Residue_theorem (ze schatten de integraal van het stuk over de boog af en laten dan de straal naar oneindig gaan). Dat afschatten kan/moet in jullie voorbeeld niet, omdat je niet over (-infty,infty) integreert.
