Springen naar inhoud

Massatraagheidsmoment bepalen samengesteld lichaam


  • Log in om te kunnen reageren

#1

lisette--

    lisette--


  • >100 berichten
  • 213 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 juni 2013 - 09:41

Hallo allemaal,

Op dit moment zit ik met een bepaald vraagstuk waar ik niet helemaal uit kom.
Ik moet van onderstaand figuur het massatraagheidsmoment bepalen om de 1-as en 2-as.
Opgave_dynamica.PNG

Ik weet hoe ik het massatraagheidsmoment moet berekenen om de 2-as, omdat deze as door het massamiddelpunt gaat van alle drie de afzonderlijke lichamen. Het totale massatraagheidsmoment kan ik dan berekenen door van ieder afzonderlijk lichaam (dus 2 vlakke platen en een cilindermantel) het massatraagheidsmoment te berekenen om de 2-as en deze dan vervolgens bij elkaar op te tellen.

Maar hoe moet ik dit aanpakken als ik het massatraagheidsmoment van het totaal om de 1-as moet berekenen? Het massamiddelpunt van de 2 vlakke platen ligt namelijk niet op de 1-as. Kan iemand mij een tip geven hoe ik dit moet aanpakken? Moet ik dan iets doen met de afstand tussen het massamiddelpunt van het vlak en de 1-as?

Alvast bedankt!

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 01 juni 2013 - 09:55

Terechte opmerking hoor. Je kan ze inderdaad niet zonder meer optellen; je moet het lichaam 'transfomeren' naar dezelfde as door een term in te voeren die rekening houdt met de afstand. Hoe je dat doet, wordt verteld door de stelling van Steiner.
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#3

Anton_v_U

    Anton_v_U


  • >1k berichten
  • 1620 berichten
  • Validating

Geplaatst op 01 juni 2013 - 12:18

Massatraagheidsmoment van een puntmassa op afstand r van de rotatieas wordt gegeven door: I = m r2. .
Hierin is r de afstand tot de rotatieas. Voor een algemeen lichaam is dit uit te rekenen met een volumeintegraal met m = ρdV wordt het traagheidsmoment de integraal over r2ρdV. ρ hoeft niet constant te zijn: integreer over r2ρ( r )dV

Massatraagheidsmoment van de (dunne) cilinder ten opzichte van (1) is triviaal aangezien alle massa op afstand r van de as zit.

Voor de flappen is het een beetje moeilijker.
Als je gebruikmaakt van massa per oppervlakte eenheid krijg je een oppervlakte integraal. Die vereenvoudigt weer tot een lijnintegraal als je rekent met een strookje op constante afstand tot de draaias:

Beschouw een strookje van de flap evenwijdig aan de as op afstand r van de as en met breedte dr. De massa van dat strookje is dan: l x dr x ρ met ρ de massa per oppervlakte eenheid (dunne flap). Het traagheidsmoment van dat strookje t.o.v. as 1 is dan:

I = r2 x l x dr x ρ (met eerste l een ie 2e l een el).
Integreren tussen r en 3 r levert I = 26/3 ρ r3 (met I een ie)

Veranderd door Anton_v_U, 01 juni 2013 - 12:19


#4

lisette--

    lisette--


  • >100 berichten
  • 213 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 juni 2013 - 09:41

Anton_v_U ik snap niet helemaal wat je bedoeld, maar ik heb een poging gedaan.

De stelling van steiner houdt dus het volgende in;
Iz' = Iz + d2 * m

Daarbij geldt:
d = afstand van het massacentrum tot de beschouwde as, dus de afstand tussen beide assen.
m = massa van het voorwerp

Ik heb even een tekening gemaakt, waarbij ik even aan één zijde de plaat heb weggelaten.

Opgave_dynamica_2.PNG

Ik heb eerst het massatraagheidsmoment van de plaat om de z-as berekend, dus door het massamiddelpunt van de plaat (met massa m2)
Het massamiddelpunt is dan:
Iz = 1/3 * m2 * r2

(Dus niet Iz = 1/12 * m2 * r2, want je moet integreren over -r tot r en niet over -r/2 tot r/2)

Als ik dan dit invul in de stelling van steiner;
Iz' = Iz + d2 * m
Iz' = (1/3 * m2 * r2) + (2r)2 * m2
Dus het massatraagheidsmoment van de plaat t.o.v. de 1-as is
1/3 * m2 * r2 + m2*4r2

Het totale massatraagheidsmoment van het samengestelde lichaam moet dan het volgende zijn; (Het massatraagheidsmoment van de cilinder (met massa m1) is simpelweg m1 * r2. Dit omdat eigenlijk alle massa op dezelfde afstand ligt van de omwentelingsas.)

Iz,totaal = Iz,cilinder + Iz,plaat + Iz,plaat
Iz,totaal = (m1 * r2) + (1/3 * m2 * r2 + m2*4r2) + (1/3 * m2 * r2 + m2*4r2)
Iz,totaal = (m1 * r2) + 2*(1/3 * m2 * r2 + m2*4r2)
Iz,totaal = m1 * r2 + 2/3 * m2 * r2 + 2*m2*4r2
Iz,totaal = m1 * r2 + 26/3 * m2 * r2

Klopt dit?

#5

Anton_v_U

    Anton_v_U


  • >1k berichten
  • 1620 berichten
  • Validating

Geplaatst op 02 juni 2013 - 10:29

Dit lijkt me helemaal correct. Mijn uitwerking was dat niet: in mijn laatste formule was de l (el) weggevallen, sorry.
Voor een flap: I = 26/3*ρ*l*r3

met ρ*l*2r = m2 krijg je voor één flap: I = 13/3 m2 r2.
Voor twee flappen en de cilinder komen we dus op hetzelfde uit. Omdat jij tussen -r en +r integreert (andere as) moet je Steiner nog toepassen om de rotatieas te verschuiven. Dat is een extra stap maar het klopt natuurlijk perfect.

#6

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 02 juni 2013 - 11:57

Klopt!
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures