Ter voorbereiding op mijn examen wiskunde (deel 1: ruimtemeetkunde) heb ik volgende oefening bedacht:
T.o.v. een orthonormaal assenstelsel zijn gegeven het vlak
\(\alpha\leftrightarrow y+3z+2=0\)
, de rechte \(m\leftrightarrow \left\{\begin{array}x-4y+1=0\\y-z+2=0\end{array}\)
en het punt A(1,2,0). [/color]De rechte l is een rechte die door A gaat evenwijdig is met
\(\alpha\)
en loodrecht staat op rechte m.[/color]a) bepaal een cartesiaanse vergelijking van 2 vlakken
\(\beta\)
en \(\gamma\)
die l omvatten.[/color]b) Bepaal een stel cartesiaanse vergelijkingen van l zonder de vlakken
\(\beta\)
en \(\gamma\)
uit (a) te gebruiken. [/color]Ik zou beginnen met (b), omdat je met het antwoord daarop aan (a) kunt beginnen:
Stel
\(\vec{l}=\vec{l}(x,y,z)\)
.[/color]Aangezien
\(l\perp m\)
geldt:[/color]\(\vec{l}\cdot\vec{m}=0\)
[/color]Stel in de vgl van m y = r
\(\Leftrightarrow m\leftrightarrow\left\{\begin{array} x=4r+1\\y=r\\z=r+2\end{array}\)
[/color]\(\Rightarrow\vec{m}=\vec{m}(4,1,1)\)
[/color]\(l\perp m\)
[/color]\(\Leftrightarrow 4x+y+z=0\)
.[/color]Aangezien
\(l\parallel\alpha\)
[/color]\(\Leftrightarrow l\perp \vec{n}\)
[/color]\(\vec{n}=\vec{n}(0,1,3)\)
[/color]\(\Rightarrow \vec{l}\vec{n}=y+3z=0\)
[/color]Beide voorwaarden voor l tezamen geeft:
\(l\leftrightarrow\left\{\begin{array}4x+y+z=0\\y+3z=0\Leftrightarrow y=-3z\end{array}\)
[/color]\(\Rightarrow l\leftrightarrow 4x-2z=0 \Leftrightarrow x=\frac{z}{2}\)
[/color]En dat is een stel cartesiaanse vergelijkingen voor l.
En nu dus de twee gevraagde vlakken:
\(\vec{l}\)
is een richtingsvector van \(\beta\)
en \(\gamma\)
.[/color]Stel
\(\beta\parallel\alpha\)
en \(l\in\beta\)
[/color]\(\beta\leftrightarrow y+3z+k=0\)
[/color]\(l\in\beta \Leftrightarrow x=\frac{z}{2}\in\beta\)
[/color]\(x-\frac{z}{2}=y+3z+k\)
[/color]\(A\in l\)
[/color]\(\Rightarrow 1-0=2+3\cdot 0+k\)
[/color]\(\Leftrightarrow k=-4\)
[/color]\(\Leftrightarrow\beta\leftrightarrow y+3z-4=0\)
[/color]Stel
\(\gamma\perp\alpha\)
en \(l\in\gamma\)
[/color]\(\Leftrightarrow\vec{n}\)
en \(\vec{l}\)
zijn richtingsvectoren van \(\gamma\)
.\(\vec{n}=\vec{n}(0,1,3)\)
en \(\vec{l}=\vec{l}(1,0,2)\)
[/color]\(A\in l \Rightarrow A\in\gamma\)
[/color]\(\Rightarrow \gamma \leftrightarrow \begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\2\\0 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 0\\1\\3 \end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}\)
[/color]\(\gamma\leftrightarrow\left\{\begin{array}x=1+s\Leftrightarrow s=x-1\\y=2+r \Rightarrow r=y-2\\z=3r+2s\)
[/color]\(\Rightarrow \gamma\leftrightarrow z=3y-6+2x-2\)
[/color]\(\Rightarrow \gamma\leftrightarrow -2x+3y+z+8=0\)
[/color]Zo...Ik heb nu de cartesiaanse vergelijking van de twee gevraagde vlakken en van de gevraagde rechte. Het probleem is dat, omdat ik deze oefening zelf opgemaakt heb, niet weet of het antwoord correct is, ook mede doordat ik zo’n vraag vaak verkeerd heb...
Zou iemand willen verbeteren waar nodig alsjeblieft?
Bedankt!
Zo'n hele oefening maken met TeX vergt wel wat concentratie 
