Opnieuw een oefening ter voorbereiding op het deelexamen wiskunde m.b.t. ruimtemeetkunde (deze heb ik zelf niet uitgevonden, maar ik heb er ook de verbetering niet van):
Gegeven zijn het vlak
\(\alpha\leftrightarrow 2x-3y+z-2=0}\)
, de rechte \(l\leftrightarrow\frac{x}{2}=\frac{y-1}{3}=-z+1\)
en het punt \(P(1,2,3)\)
.\(S\)
is het punt op de rechte \(l\)
zodanig dat \(PS\)
evenwijdig is met \(\alpha\)
.a) Bepaal een cartesiaanse vergelijking van 2 vlakken
\(\beta\)
en \(\gamma\)
waarin de rechte \(PS\)
ligt, zonder het punt \(S\)
te gebruiken.b) Bepaal de coördinaat van het punt
\(S\)
, zonder de vlakken \(\beta\)
en \(\gamma\)
uit (a) te gebruiken. Ter controle: de som van de coördinaten van \(S\)
is \(\frac{4}{3}\)
.Wederom wil ik graag met (b) beginnen.
Gegeven:
\(S\in PS\)
en\(PS\parallel\alpha\Leftrightarrow\overrightarrow{PS}\perp\vec{n}\)
Stel \(S=S(x_1,y_1,z_1)\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{PS}=\overrightarrow{PS}(x_1-1,y_1-2,z_1-3)\perp\vec{n}(2,-3,1)\)
\(\Leftrightarrow 2x_1-2-3y_1+6+z_1-3=0\)
\(2x_1-3y_1+z_1+1=0\)
\(S\in l\Leftrightarrow S=S(2r,4r+1,1-r)\)
Invullen in de voorwaarde voor \(\overrightarrow{PS}\perp\vec{n}\)
geeft:\(2(2r)-3(3r+1)+(1-r)+1=0\)
\(\Leftrightarrow -6r-1=0\)
\(\Leftrightarrow r=-6\)
\(r\)
invullen in de coördinaat van \(S\)
, bekomen door te stellen dat \(S\in l\)
geeft:\(S=S(-12,-17,7)\)
En het gevraagde is opgelost. Ik vrees echter wel dat de werkwijze verkeerd is...Zou iemand kunnen nakijken?Dan zal ik nu trachten (a) op te lossen.
1. Het vinden van
\(\gamma\)
Stel \(\gamma\parallel\alpha\)
\(\Leftrightarrow\gamma\leftrightarrow 2x-3y+z-k=0\)
\(P\in\gamma\)
\(P\)
invullen in het voorschrift voor \(\gamma\)
geeft:\(2-6+3+k=0\Leftrightarrow k=1\)
\(\Leftrightarrow\gamma\leftrightarrow 2x-3y+z-1=0\)
2. Het vinden van \(\beta\)
\(PS\in\beta\)
en \(PS\parallel\alpha\)
Stel \(\beta\perp\alpha\)
\(\Leftrightarrow\vec{n_a}\)
is een richtingsvector van \(\beta\)
.\(P\in\beta\)
\(\Leftrightarrow\beta\leftrightarrow\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\)
Verleidelijk om nu het reeds gevonden punt \(S\)
te gebruiken, maar dat mag dus niet... Hoe kan ik \(\beta\)
vinden?Misschien kan ik de snijlijn van
\(\beta\)
en \(\gamma\)
gebruiken door te zeggen dat die loodrecht staat op \(\vec{n}\)
?Maar hoe?
Een andere manier is misschien een willekeurige richtingsvector (a,b,c) te gebruiken om uit te drukken dat het scalair product van die vector en de normaalvector van
\(\alpha\)
0 is?Dan krijg je
\(2a-3b+c=0\)
En verder?Ik heb dus 3 vragen:
- Klopt de werkwijze om aan het punt \(S\)te geraken, en klopt het resultaat?
- Klopt de werkwijze om aan het vlak \(\gamma\)te geraken, en klopt het resultaat?
- Hoe kan ik verder om aan het vlak \(\beta\)te geraken?
