Springen naar inhoud

vrije en gebonden extrema voor functies van 2 veranderlijken



  • Log in om te kunnen reageren

#1

dannypje

    dannypje


  • >250 berichten
  • 595 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 juni 2013 - 21:00

Bekijk even de volgende 2 opgaven hieronder. In de eerste opgave gaat het blijkbaar om ongebonden extrema, in de tweede opgave gaat het om gebonden extrema.

Volgens mijn dochter kan je dat in opgave 1 zien aan het zinnetje "gebruik de tweede orde conditie om na te gaan dat je wel degelijk met een minimum te maken hebt en niet met een maximum of een zadelpunt".

De vraag is, als dat zinnetje er niet bij staat, hoe kan je dan merken dat de eerste opgave over ongebonden extrema handelt, terwijl de tweede over gebonden extrema gaat.

opgave 1 (ongebonden)
Beschouw het oppervlak in R^3 dat gegeven wordt door de grafiek van de functie f:

R^2 -> R:(x,y) -> 1+ x^2 - y^2.

Welk(e) punt(en) van dit oppervlak ligt (liggen) het dichts bij de oorsprong (0,0,0) ? Gebruik de tweede orde conditie om na te gaan dat je wel degelijk met een minimum te maken hebt en niet met een maximum of een zadelpunt.

opgave 2 (gebonden)
zoek de punten op de cirkel (x-3)^2+(y-4)^2= 1 die het dichtst en het verst verwijderd zijn van de oorsprong


Nogmaals, het is niet de bedoeling de opgaven op te lossen, ik zoek alleen een verklaring hoe je kan zien dat de ene over ongebonden extrema gaat, en de andere over gebonden extrema.

Bedankt op voorhand.

Veranderd door dannypje, 05 juni 2013 - 21:01

In the beginning, there was nothing. Then he said:"Light". There was still nothing but you could see it a whole lot better now.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Typhoner

    Typhoner


  • >1k berichten
  • 2446 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 juni 2013 - 22:07

het eerste geval kan je schrijven als één functie waarvan je het minimum moet vinden (namelijk x2 + y2 + z2, waarbij z de functie f(x,y) is).

bij vraag twee moet je de extrema van dezelfde functie zoeken, maar heb je nog een extra voorwaarde waaraan x en y moeten voldoen
This is weird as hell. I approve.

#3

dannypje

    dannypje


  • >250 berichten
  • 595 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 juni 2013 - 22:15

Typhoner, thx, ik had zelf ook in die richting gedacht, maar is het niet zo dat je bij die eerste functie ook nog zo'n extra voorwaarde hebt waaraan x en y moeten voldoen, want die coordinaten x, y en z moeten toch ook punten geven die op het oppervlak van die functie liggen ?
In the beginning, there was nothing. Then he said:"Light". There was still nothing but you could see it a whole lot better now.

#4

Typhoner

    Typhoner


  • >1k berichten
  • 2446 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 juni 2013 - 22:20

je hebt geen beperking op x en y. Alleen wordt z dus eenduidig bepaald voor elke keuze van (x,y)
This is weird as hell. I approve.

#5

dannypje

    dannypje


  • >250 berichten
  • 595 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 juni 2013 - 22:41

Ok, duidelijk. Bedankt
In the beginning, there was nothing. Then he said:"Light". There was still nothing but you could see it a whole lot better now.

#6

dannypje

    dannypje


  • >250 berichten
  • 595 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 juni 2013 - 08:43

Bij nader inzien weet ik toch niet helemaal zeker of ik het helemaal versta. Zoals ik het begrepen heb, heb je altijd te maken met een gebonden extremum wanneer y eenduidig bepaald is als je x vastlegt, want dan is dat de randvoorwaarde. Dat betekent dat je in 2 dimensies altijd met een gebonden extremum te maken hebt.
Wanneer je daarentegen zowel x als y moet vastleggen om z eenduidig te kunnen bepalen, heb je te maken met een ongebonden extremum, dus in 3 dimensies is dit altijd het geval (tenzij er nog andere randvoorwaarden zijn eventueel).
Klopt mijn redenering zo en is dit wat je bedoelde? Alvast bedankt
In the beginning, there was nothing. Then he said:"Light". There was still nothing but you could see it a whole lot better now.

#7

Typhoner

    Typhoner


  • >1k berichten
  • 2446 berichten
  • VIP

Geplaatst op 07 juni 2013 - 16:09

een ongebonden extremum is gewoon: gegeven zij een functie f(x1, ..., xn), bepaal het extremum/de extrema
Een gebonden extremum is als je nog specifieke eisen hebt over x1, ..., xn.

Nu, ik snap je verwarring over de eerste vraag wel: de afstand tot de oorsprong is de functie f(x,y,z), maar z is toch gebonden, want afhankelijk van x en y? Of: je bent gebonden aan het oppervlak z(x,y). Maar juist omdat je een functionele relatie hebt tussen z en (x,y) kun je de functie waarvan je de extrema moet vinden schrijven als f(x,y), omdat z gewoon een functie van x en y is.

Bij de tweede vraag is dit niet zo. Je zou in eerste instantie kunnen zeggen: omdat x en y op een cirkel moeten liggen, kan ik nu y ook schrijven als functie van x (door de formule van de cirkel om te vormen). Dit gaat niet werken, want zelfs in dat geval is x beperkt - immers strekt te cirkel zich niet over heel R uit. Je zult dus de functie uit de vorige vraag moeten gebruiken, waarbij je dan met een lagrangiaanse multiplicator werkt

Veranderd door Typhoner, 07 juni 2013 - 16:09

This is weird as hell. I approve.






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures