Bekijk even de volgende 2 opgaven hieronder. In de eerste opgave gaat het blijkbaar om ongebonden extrema, in de tweede opgave gaat het om gebonden extrema.
Volgens mijn dochter kan je dat in opgave 1 zien aan het zinnetje "gebruik de tweede orde conditie om na te gaan dat je wel degelijk met een minimum te maken hebt en niet met een maximum of een zadelpunt".
De vraag is, als dat zinnetje er niet bij staat, hoe kan je dan merken dat de eerste opgave over ongebonden extrema handelt, terwijl de tweede over gebonden extrema gaat.
opgave 1 (ongebonden)
Beschouw het oppervlak in R^3 dat gegeven wordt door de grafiek van de functie f:
R^2 -> R:(x,y) -> 1+ x^2 - y^2.
Welk(e) punt(en) van dit oppervlak ligt (liggen) het dichts bij de oorsprong (0,0,0) ? Gebruik de tweede orde conditie om na te gaan dat je wel degelijk met een minimum te maken hebt en niet met een maximum of een zadelpunt.
opgave 2 (gebonden)
zoek de punten op de cirkel (x-3)^2+(y-4)^2= 1 die het dichtst en het verst verwijderd zijn van de oorsprong
Nogmaals, het is niet de bedoeling de opgaven op te lossen, ik zoek alleen een verklaring hoe je kan zien dat de ene over ongebonden extrema gaat, en de andere over gebonden extrema.
Bedankt op voorhand.
Laatste berichten
-
15:54
Rotatie van het heelal 27
-
14:19
Herleiden afmetingen vanaf een foto 2
-
00:49
Ervaringen met "herontdekkingen" 11
-
21:28
hall effect in vloeistof gebruiken als stromingssensor 6
-
17:59
Gezocht: de/een naam voor een getallenrij met een cauchyrij als partieelsommenrij
-
17:28
Casus uit de praktijk: positief test THC 18
-
17 apr
speciale rel. theorie 4
-
17 apr
Vreemde stank in huis 11
-
17 apr
3 vragen over mijn rooskleurige r.berekening H2netGekoppeldeHBrflowbatterij.
-
17 apr
Interpretatie reactie-energie 3
-
17 apr
Logistic equation (Pierre Verhulst,Belgian Mathematician) 5
-
16 apr
vB 9
-
15 apr
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 1
-
15 apr
Python: sockets sluiten 4
-
14 apr
Een eenvoudige logische redenering waarom tijd niet kan bestaan 'daarbuiten' 6
-
14 apr
Hoe kun je op quantumwijze getallen vinden in een rij die kleiner zijn dan getal k 3
-
13 apr
Documentenverdwijnen uit onedrive 1
-
12 apr
Behoud van impulsmoment en energie 5
-
12 apr
INLOG STORING / TIPS 4
-
09 apr
[natuurkunde] systeemgrafen 1
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
[wiskunde] vrije en gebonden extrema voor functies van 2 veranderlijken
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 768
vrije en gebonden extrema voor functies van 2 veranderlijken
In the beginning, there was nothing. Then he said:"Light". There was still nothing but you could see it a whole lot better now.
-
- Berichten: 2.455
Re: vrije en gebonden extrema voor functies van 2 veranderlijken
het eerste geval kan je schrijven als één functie waarvan je het minimum moet vinden (namelijk x2 + y2 + z2, waarbij z de functie f(x,y) is).
bij vraag twee moet je de extrema van dezelfde functie zoeken, maar heb je nog een extra voorwaarde waaraan x en y moeten voldoen
bij vraag twee moet je de extrema van dezelfde functie zoeken, maar heb je nog een extra voorwaarde waaraan x en y moeten voldoen
This is weird as hell. I approve.
-
- Berichten: 768
Re: vrije en gebonden extrema voor functies van 2 veranderlijken
Typhoner, thx, ik had zelf ook in die richting gedacht, maar is het niet zo dat je bij die eerste functie ook nog zo'n extra voorwaarde hebt waaraan x en y moeten voldoen, want die coordinaten x, y en z moeten toch ook punten geven die op het oppervlak van die functie liggen ?
In the beginning, there was nothing. Then he said:"Light". There was still nothing but you could see it a whole lot better now.
-
- Berichten: 2.455
Re: vrije en gebonden extrema voor functies van 2 veranderlijken
je hebt geen beperking op x en y. Alleen wordt z dus eenduidig bepaald voor elke keuze van (x,y)
This is weird as hell. I approve.
-
- Berichten: 768
Re: vrije en gebonden extrema voor functies van 2 veranderlijken
Ok, duidelijk. Bedankt
In the beginning, there was nothing. Then he said:"Light". There was still nothing but you could see it a whole lot better now.
-
- Berichten: 768
Re: vrije en gebonden extrema voor functies van 2 veranderlijken
Bij nader inzien weet ik toch niet helemaal zeker of ik het helemaal versta. Zoals ik het begrepen heb, heb je altijd te maken met een gebonden extremum wanneer y eenduidig bepaald is als je x vastlegt, want dan is dat de randvoorwaarde. Dat betekent dat je in 2 dimensies altijd met een gebonden extremum te maken hebt.
Wanneer je daarentegen zowel x als y moet vastleggen om z eenduidig te kunnen bepalen, heb je te maken met een ongebonden extremum, dus in 3 dimensies is dit altijd het geval (tenzij er nog andere randvoorwaarden zijn eventueel).
Klopt mijn redenering zo en is dit wat je bedoelde? Alvast bedankt
Wanneer je daarentegen zowel x als y moet vastleggen om z eenduidig te kunnen bepalen, heb je te maken met een ongebonden extremum, dus in 3 dimensies is dit altijd het geval (tenzij er nog andere randvoorwaarden zijn eventueel).
Klopt mijn redenering zo en is dit wat je bedoelde? Alvast bedankt
In the beginning, there was nothing. Then he said:"Light". There was still nothing but you could see it a whole lot better now.
-
- Berichten: 2.455
Re: vrije en gebonden extrema voor functies van 2 veranderlijken
een ongebonden extremum is gewoon: gegeven zij een functie f(x1, ..., xn), bepaal het extremum/de extrema
Een gebonden extremum is als je nog specifieke eisen hebt over x1, ..., xn.
Nu, ik snap je verwarring over de eerste vraag wel: de afstand tot de oorsprong is de functie f(x,y,z), maar z is toch gebonden, want afhankelijk van x en y? Of: je bent gebonden aan het oppervlak z(x,y). Maar juist omdat je een functionele relatie hebt tussen z en (x,y) kun je de functie waarvan je de extrema moet vinden schrijven als f(x,y), omdat z gewoon een functie van x en y is.
Bij de tweede vraag is dit niet zo. Je zou in eerste instantie kunnen zeggen: omdat x en y op een cirkel moeten liggen, kan ik nu y ook schrijven als functie van x (door de formule van de cirkel om te vormen). Dit gaat niet werken, want zelfs in dat geval is x beperkt - immers strekt te cirkel zich niet over heel R uit. Je zult dus de functie uit de vorige vraag moeten gebruiken, waarbij je dan met een lagrangiaanse multiplicator werkt
Een gebonden extremum is als je nog specifieke eisen hebt over x1, ..., xn.
Nu, ik snap je verwarring over de eerste vraag wel: de afstand tot de oorsprong is de functie f(x,y,z), maar z is toch gebonden, want afhankelijk van x en y? Of: je bent gebonden aan het oppervlak z(x,y). Maar juist omdat je een functionele relatie hebt tussen z en (x,y) kun je de functie waarvan je de extrema moet vinden schrijven als f(x,y), omdat z gewoon een functie van x en y is.
Bij de tweede vraag is dit niet zo. Je zou in eerste instantie kunnen zeggen: omdat x en y op een cirkel moeten liggen, kan ik nu y ook schrijven als functie van x (door de formule van de cirkel om te vormen). Dit gaat niet werken, want zelfs in dat geval is x beperkt - immers strekt te cirkel zich niet over heel R uit. Je zult dus de functie uit de vorige vraag moeten gebruiken, waarbij je dan met een lagrangiaanse multiplicator werkt
This is weird as hell. I approve.
