Springen naar inhoud

Limiet in twee veranderlijken: waarom bestaat die?


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Bert F

    Bert F


  • >1k berichten
  • 2588 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 januari 2006 - 21:38

Hallo,

Ik heb toch zo'n een probleem met het uitrekenen van een limiet van twee verandelijk pak nu de volgende:

y^3 / :D x :roll: + a^3x^3

Als je y hier vervangt door bv y=mx dan komt er volgens mij

a^3 x^3 / :P x :P + a^3x^3 Volgens mij blijft die limiet die trouwens naar oneidig gaat. en daarom bestaat hij niet.

Nu zou hij toch bestaan hoe kan dat?

Groeten.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 januari 2006 - 21:43

Verving je y nu door ax ipv mx? En staat alles in de noemer of niet, want door een gebrek aan haakjes is dat niet duidelijk. En de limiet, van (x,y) naar wat...?

#3

Bert F

    Bert F


  • >1k berichten
  • 2588 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 januari 2006 - 22:26

Geplaatste afbeelding

ik vervang y door mx

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 januari 2006 - 22:46

Dan krijg je volgens mij niet oneindig hoor. Ik vind 0.

#5

Bert F

    Bert F


  • >1k berichten
  • 2588 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 januari 2006 - 22:54

eups sorry hij gaat inderdaad niet naar oneidig vergissing.
Ik snap alleen nog niet waarom dat hij niet meer afhanklijk van is?

Groeten.

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 januari 2006 - 23:12

Wat bedoel je?

#7

Bert F

    Bert F


  • >1k berichten
  • 2588 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 januari 2006 - 10:32

ik bedoel dit (eigenlijk gewoon dat ik er niet in slaag dat op te lossen)

Geplaatste afbeelding

Groeten.

#8

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 04 januari 2006 - 10:42

Die limiet gaat toch gewoon naar 0?

Zeg f(x,y) = y3/(|x|+y2)
Er geldt f(x,y) = y[.]y2/(|x|+y2) en y2/(|x|+y2) :D y2/y2 = 1, dus |f(x,y)| :roll: |y|

Dus lim(x,y)[pijltje]0f(x,y) = limy[pijltje]0f(x,y) = 0

Ik neem aan dat jij die substitutie met m graag wilt doen zodat je er een 'normale' limiet van n variabele van maakt? Is niet nodig zoals je ziet, maar vervang anders eens x door my in plaats van y door mx, dat maakt het misschien duidelijker.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#9

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 04 januari 2006 - 11:05

Bert F: wat je doet is niet fout maar de limiet hangt er helemaal niet af van m, reken maar uit (je vindt opnieuw 0). Helaas ben je daar dan niet veel mee, en moet je gaan afschatten - bvb zoals Rogier deed.

#10

Bert F

    Bert F


  • >1k berichten
  • 2588 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 januari 2006 - 11:14

Rogier wat jij dadelijk doet is een onmiddelijk een afschating maken dit moet ook maar meestal controleer ik eerst of de limiet wel kan bestaan met zo'n substitutie.

Als ik nu opnieuw o invul voor x en y dan kom ik op een onbepaaldheid uit of niet ? 0/0

#11

dr. E. Noether

    dr. E. Noether


  • >25 berichten
  • 96 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 januari 2006 - 11:19

Nog even wat dieper, Rogier gaf de voorzet. Als je een vermoeden hebt van wat de limiet moet zijn, zeg L, dan is de definitie van limiet goed bruikbaar om aan te tonen dat dit vermoeden juist is. Namelijk, als voor alle epsilon.gif > 0 er een delta.gif bestaat waarvoor geldt dat 0 < sqrt(x^2 + y^2) < delta.gif ==> |f(x,y) - L| < epsilon.gif , dan bestaat de limiet en is deze gelijk aan L.

In jouw opgave: f(x,y) = y^3/(|x| + y^2) en het vermoeden is L = 0. Zij epsilon.gif > 0 willekeurig en kies delta.gif = epsilon.gif . Als 0 < sqrt(x^2 + y^2) < delta.gif dan is:

|f(x,y) - L| = |y|^3/(|x| + y^2) :D |y| :roll: sqrt(x^2 + y^2) < delta.gif = epsilon.gif .

(N.B: Voor de tussenstappen zie post van Rogier)

#12

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 04 januari 2006 - 11:24

Rogier wat jij dadelijk doet is een onmiddelijk een afschating maken dit moet ook maar meestal controleer ik eerst of de limiet wel kan bestaan met zo'n substitutie.

Als ik nu opnieuw o invul voor x en y dan kom ik op een onbepaaldheid uit of niet ? 0/0

Een onbepaaldheid wil niet zeggen dat de limiet niet bestaat, dan is verder onderzoek nodig.

#13

Bert F

    Bert F


  • >1k berichten
  • 2588 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 januari 2006 - 11:38

Een onbepaaldheid wil niet zeggen dat de limiet niet bestaat, dan is verder onderzoek nodig


En hoe doet men dit onderzoek bij limieten van twee veranderlijken? idd ik mag x=0 en y=0 invullen en voor m kiezen wat ik wil bv 1 of 2 ik kom telkens op 0/0 dus niet afhankelijk van m.

Groeten.

#14

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 04 januari 2006 - 11:48

mx/(|x|+mx) = mx/(sign(x)+mx)

In de teller staat x kwadratisch terwijl het in de noemer slechts lineair is, als je x naar 0 laat gaan zal het geheel dus naar 0 gaan. Je gaat natuurlijk steeds 0 vinden, op eender welke manier je ook substituties in deze limiet gaat voeren vermits de limiet hier bestaat, zoals door afschatting bewezen.

#15

Math

    Math


  • >1k berichten
  • 1460 berichten
  • VIP

Geplaatst op 04 januari 2006 - 12:30

Nog even wat dieper, Rogier gaf de voorzet. Als je een vermoeden hebt van wat de limiet moet zijn, zeg L, dan is de definitie van limiet goed bruikbaar om aan te tonen dat dit vermoeden juist is. Namelijk, als voor alle  epsilon.gif  > 0 er een  delta.gif  bestaat waarvoor geldt dat 0 < sqrt(x^2 + y^2) <  delta.gif  ==> |f(x,y) - L| <  epsilon.gif , dan bestaat de limiet en is deze gelijk aan L.  

In jouw opgave: f(x,y) = y^3/(|x| + y^2) en het vermoeden is L = 0. Zij  epsilon.gif  > 0 willekeurig en kies  delta.gif  =  epsilon.gif . Als 0 < sqrt(x^2 + y^2) <  delta.gif  dan is:

|f(x,y) - L| = |y|^3/(|x| + y^2)  :D  |y|  :roll:  sqrt(x^2 + y^2) <  delta.gif  =  epsilon.gif .

(N.B: Voor de tussenstappen zie post van Rogier)

Hier is geen speld tussen te krijgen.

Ik vraag me alleen af of Bert F dit kan volgen.
<i>Iets heel precies uitleggen roept meestal extra vragen op</i>





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures