Springen naar inhoud

Riemann zeta functie


  • Log in om te kunnen reageren

#1

De leek

    De leek


  • >100 berichten
  • 126 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 juni 2013 - 22:10

Beste mensen ik heb wat dingen gehoord over de Riemann zeta functie, en ik weet hoe die is gedefinieerd maar sommige dingen vind ik onduidelijk(Riemann Hypothese).

De Riemann zeta functie is natuurlijk gedefinieerd als:

LaTeX

Ik snap dat die voor s>1 gedefinieerd is. En ik snap ook dat je er eventueel complexe getallen in kan stoppen en dan bepaalde uitkomsten kan krijgen, als is convergentie bewijzen dan wellicht een stuk lastiger.

Nu hoor ik tegelijkertijd ook iets anders, namelijk dat deze functie bepaalde nulpunten heeft. Voor alle getallen waarvan het reële deel gelijk is aan negatieve even getallen(-2,-4,-6,etc) zou de functie uit moeten komen op een 0. Maar dit lijkt me nogal absurd omdat hij toch juist zou moeten divergeren voor negatieve getallen(iniedergeval als het complexe deel 0 is)?

Is deze functie soms anders gedefinieerd voor complexe getallen(zo dat het bovenstaande waar is voor reële getallen s>1 maar het domein vergroot wordt)?

Ergens interpreteer ik iets fout en ik kan niet vinden waar...

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 23 juni 2013 - 09:23

De Riemann zeta functie is natuurlijk gedefinieerd als:

LaTeX



Ik snap dat die voor s>1 gedefinieerd is. En ik snap ook dat je er eventueel complexe getallen in kan stoppen en dan bepaalde uitkomsten kan krijgen, als is convergentie bewijzen dan wellicht een stuk lastiger.

Een eerste zaak om op te helderen: die is gedefinieerd voor complexe getallen met reëel deel (strikt) groter dan 1. Daar is ook niet lastigs aan om te bewijzen:
LaTeX
Nu is er niets moeilijks meer aan om absolute convergentie te tonen voor x>1 (bijv. de integraaltest helpt).

Nu hoor ik tegelijkertijd ook iets anders, namelijk dat deze functie bepaalde nulpunten heeft. Voor alle getallen waarvan het reële deel gelijk is aan negatieve even getallen(-2,-4,-6,etc) zou de functie uit moeten komen op een 0. Maar dit lijkt me nogal absurd omdat hij toch juist zou moeten divergeren voor negatieve getallen(iniedergeval als het complexe deel 0 is)?

Is deze functie soms anders gedefinieerd voor complexe getallen(zo dat het bovenstaande waar is voor reële getallen s>1 maar het domein vergroot wordt)?

Ergens interpreteer ik iets fout en ik kan niet vinden waar...

Het is dus niet zo dat bovenstaande niet klopt voor complexe getallen. Het is wél zo dat die formule niet meer klopt voor complexe getallen met reëel deel kleiner dan 1... Wat gebeurt er? Je bekijkt die definitie en gaat na dat ze "aan alles voldoet" om ze analytisch voort te zetten op heel het complex vlak (uitgezonderd het complex punt (1, 0)). Om dit te doen breid je ze eerst uit tot het complexe vlak met reëel deel groter dan 0 (uitgezonderd het complex punt (1, 0)). Vervolgens breiden we ze uit tot heel het complex vlak (steeds uitgezonderd dat ene punt). Dat gebeurt via de zgn. "functional equation":
LaTeX .
Details geef ik hier niet, zie [1]. Een andere optie is stap voor stap je functie uitbreiden tot het complex vlak met reëel deel groter dan -k (met k een positief getal), zie [2] bijv. Nu, met die functional equation kan je meteen zien dat de negatieve even getallen zeker nulpunten zijn (bovendien zijn dit de enige nulpunten in het "negatieve complexe halfvlak"). Je kan ook bewijzen (met de eerste formule) dat er geen nulpunten zijn in het complex vlak met reëel deel groter dan 1. Met de functional equation kan je ook nagaan dat er voor reëel deel 1 geen nulpunten zijn. Dus de niet-triviale nulpunten liggen in het complexe vlak met reëel deel gelegen tussen 0 en 1. Dit brengt ons bij de Riemann-hypothese: ze liggen allen op de lijn met reëel deel 1/2.

[1] Titchmarsh, The Theory of the Riemann Zeta Function.
[2] G. Everest, C. Rottger and T. Ward, The continuing story of zeta.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 23 juni 2013 - 09:44

Opmerking moderator :

Ik verplaats dit ook even naar Analyse.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#4

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 23 juni 2013 - 16:12

De functie LaTeX zoals je die hier geeft is differentieerbaar.
De definitie van afgeleide is voor complexe getallen hetzelfde als voor reële, alleen is nu de differentie LaTeX een klein complex getal (klein in absolute waarde).

Uit een bekende stelling volgt nu dat er een differentieerbare functie bestaat op LaTeX \{1} die op het gebied LaTeX overeenkomt met de LaTeX functie.
Die functie noemt men daarom ook de LaTeX functie.
We kunnen die functie niet zo makkelijk in zijn geheel weergeven, maar gelukkig kunnen we gebruik maken van de relatie die Drieske hiervoor geeft.

Veranderd door PeterPan, 23 juni 2013 - 16:18


#5

De leek

    De leek


  • >100 berichten
  • 126 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 juni 2013 - 19:33

Ok, als ik het goed begrijp is die Riemann zeta functie dus uitgebreid zodat het op een groter domein gedefinieerd kan worden. Het komt erop neer dat de functie voor alle getallen x met Re(x)>1 precies hetzelfde is als ik heb gegeven en dus enkel gedefinieerd is op een groter domein.

En als ik het goed begrijp is die functionaal vergelijking voor alle getallen x met Re(x)<1 niet expliciet op te lossen, en met Re(x)>1 is het gelijk aan de oorspronkelijke definitie. Ok dat snap ik dan maar waar komt dan dat verband met priemgetallen vandaan? Ik weet dat je die functie voor reele x hoger dan 1 namelijk ook anders kan schrijven, zoals Euler heeft bewezen:

LaTeX

Waarbij ik met P de verzameling priemgetallen bedoel. Maar aangezien de eerste functie niet waar is voor Re(x)<1(want dan krijg je divergentie) is de 2de ook niet waar lijkt me waardoor de relatie met priemgetallen vervalt. Toch wordt die Riemann hypothese sterk geassocieerd met priemgetallen, maar de niet triviale nulpunten liggen op de strip waar Re(x)<1 en als de hypothese klopt liggen ze allemaal op de streep met Re(x)=1/2 en dat is buiten het domein van de oorspronkelijke functie...

Veranderd door De leek, 23 juni 2013 - 19:33


#6

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 23 juni 2013 - 22:01

Voor de priemgetalstelling is het voldoende te weten dat de zeta functie geen nulpunten heeft op de lijn Re(z)=1.
Hoe meer kennis we hebben van de niet-triviale nulpunten van de zeta functie, hoe beter we de fout in de benaderingsfunctie voor LaTeX kunnen afschatten.
De formule van Euler geeft het verband tussen de zeta functie en priemgetallen. Dat heeft Riemann geinspireerd de zetafunctie uitvoeriger te bestuderen en hij vond een verband tussen de zetafunctie en de priemgetallen voor het gebied Re>0. In die formule wordt gesommeerd over de nulpunten van de zetafunctie. Voor een afschatting zijn die dus bijzonder interessant.

#7

Esthetisch

    Esthetisch


  • >100 berichten
  • 113 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 24 augustus 2013 - 14:34

Om dit te doen breid je ze eerst uit tot het complexe vlak met reŽel deel groter dan 0.

Mag ik vragen hoe je deze stap precies doet. Dat stukje begrijp ik niet. Ze zullen waarschijnlijk niet zomaar een waarde kiezen voor y in z=x+yi. Die waarde moet toch ergens op gebaseerd zijn.

Overigens voor de liefhebber ik vindt dit een zeer goed te begrijpen uitleg van de hele zetafunctie:
http://staff.science...craats/zeta.pdf



Destruction has an end. Creation doesn't.

#8

Esthetisch

    Esthetisch


  • >100 berichten
  • 113 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 14 september 2013 - 20:46

Is het nu eigenlijk mogelijk op 1 of andere manier de 'uitbreidingen' naar 0-1 en naar <0 om te draaien? En dan bedoel ik dus qua volgorde van uitvoering? Is het mogelijk dat je eerst de riemanzetafunctie uitbreidt naar het negatieve deel van de x-as, en daarna pas maar het deel 0-1???

Edit: en dan natuurlijk wel op zon manier dat je toch dezelfde eindfunctie krijgt.

Veranderd door Esthetisch, 14 september 2013 - 20:50

Destruction has an end. Creation doesn't.

#9

Esthetisch

    Esthetisch


  • >100 berichten
  • 113 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 19 september 2013 - 20:20

Het is niet m'n bedoeling om dit topic te verpesten, maar eigenlijk heb ik ook nog een andere vraag.

Is bij de rieman zeta functie in de uitgebreidere versie (dus hele domein behalve 1 & complexe vlak) het gedeelte dat op de x-as ligt tussen 0 & 1 nu eigenlijk exact hetzelfde als dat stukje bij de oorspronkelijke functie?
Destruction has an end. Creation doesn't.

#10

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 20 september 2013 - 08:14

Het idee van een uitbreiding is natuurlijk wel dat je functie niet verandert op het stuk dat je reeds hebt...
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#11

Esthetisch

    Esthetisch


  • >100 berichten
  • 113 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 21 september 2013 - 13:42

Wat ik dan niet begrijp is dat er bij riemancalculators op internet voor s=0 uitkomt dat z=0,5. Bij de oorspronkelijke versie zou dit toch juist uit moeten komen op oneindig, of liever gezegd s=n, met n=oneindig.

http://www.solvemyma...ction/index.php
Destruction has an end. Creation doesn't.

#12

De leek

    De leek


  • >100 berichten
  • 126 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 oktober 2013 - 23:12

LaTeX .

Als ik hier naar de functionaal vergelijking kijk en ik vul s=2 in weet ik dat daar pi^2/6 uit moet komen. Echter is de sinus van pi gelijk aan 0, en dat is precies wat ik krijg als ik dit invul in de functionaal vergelijking... dus dan lijkt het me dat de functionaal vergelijking ompliceert dat zeta(2) = 0..... Of moet ik het eigenlijk zien als zijnde een limiet van s die naar 2 gaat, waardoor de sin die naar 0 gaat de gamma en de zeta(van de oude definitie) die naar oneindig gaan elkaar zodanig compenseren dat de limiet uiteindelijk convergeert naar pi^2/6?

Veranderd door De leek, 17 oktober 2013 - 23:14


#13

JorisL

    JorisL


  • >250 berichten
  • 555 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 oktober 2013 - 23:49

Mag ik vragen hoe je deze stap precies doet. Dat stukje begrijp ik niet. Ze zullen waarschijnlijk niet zomaar een waarde kiezen voor y in z=x+yi. Die waarde moet toch ergens op gebaseerd zijn.

Overigens voor de liefhebber ik vindt dit een zeer goed te begrijpen uitleg van de hele zetafunctie:
http://staff.science...craats/zeta.pdf


Bekijk het document waar hier naar gelinkt wordt even. In het bijzonder onderaan pagina 4 en bovenaan pagina 5. Dat gaat over de formule en op het laatst in de paragraaf gaat het nog even over even s-waarden.

@Esthetisch
Het heeft inderdaad met limieten te maken. Hier vind je een uitwerking van deze eigenschap.

Veranderd door JorisL, 17 oktober 2013 - 23:55






0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures