De leek schreef: ↑za 22 jun 2013, 23:10
De Riemann zeta functie is natuurlijk gedefinieerd als:
\(\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} \)
Ik snap dat die voor s>1 gedefinieerd is. En ik snap ook dat je er eventueel complexe getallen in kan stoppen en dan bepaalde uitkomsten kan krijgen, als is convergentie bewijzen dan wellicht een stuk lastiger.
Een eerste zaak om op te helderen: die is gedefinieerd voor complexe getallen met reëel deel (strikt) groter dan 1. Daar is ook niet lastigs aan om te bewijzen:
\(\zeta(x + iy) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^x n^{iy}} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{e^{-iy \ln(n)}}{n^x}.\)
Nu is er niets moeilijks meer aan om absolute convergentie te tonen voor x>1 (bijv. de integraaltest helpt).
Nu hoor ik tegelijkertijd ook iets anders, namelijk dat deze functie bepaalde nulpunten heeft. Voor alle getallen waarvan het reële deel gelijk is aan negatieve even getallen(-2,-4,-6,etc) zou de functie uit moeten komen op een 0. Maar dit lijkt me nogal absurd omdat hij toch juist zou moeten divergeren voor negatieve getallen(iniedergeval als het complexe deel 0 is)?
Is deze functie soms anders gedefinieerd voor complexe getallen(zo dat het bovenstaande waar is voor reële getallen s>1 maar het domein vergroot wordt)?
Ergens interpreteer ik iets fout en ik kan niet vinden waar...
Het is dus niet zo dat bovenstaande niet klopt voor complexe getallen. Het is wél zo dat die formule niet meer klopt voor complexe getallen met reëel deel kleiner dan 1... Wat gebeurt er? Je bekijkt die definitie en gaat na dat ze "aan alles voldoet" om ze analytisch voort te zetten op heel het complex vlak (uitgezonderd het complex punt (1, 0)). Om dit te doen breid je ze eerst uit tot het complexe vlak met reëel deel groter dan 0 (uitgezonderd het complex punt (1, 0)). Vervolgens breiden we ze uit tot heel het complex vlak (steeds uitgezonderd dat ene punt). Dat gebeurt via de zgn. "functional equation":
\(\zeta(s) = 2 (2\pi)^{s-1} \sin(\frac{\pi s}{2}) \Gamma(1 - s) \zeta(1 - s)\)
.
Details geef ik hier niet, zie [1]. Een andere optie is stap voor stap je functie uitbreiden tot het complex vlak met reëel deel groter dan -k (met k een positief getal), zie [2] bijv. Nu, met die functional equation kan je meteen zien dat de negatieve even getallen zeker nulpunten zijn (bovendien zijn dit de enige nulpunten in het "negatieve complexe halfvlak"). Je kan ook bewijzen (met de eerste formule) dat er geen nulpunten zijn in het complex vlak met reëel deel groter dan 1. Met de functional equation kan je ook nagaan dat er voor reëel deel 1 geen nulpunten zijn. Dus de niet-triviale nulpunten liggen in het complexe vlak met reëel deel gelegen tussen 0 en 1. Dit brengt ons bij de Riemann-hypothese: ze liggen allen op de lijn met reëel deel 1/2.
[1] Titchmarsh, The Theory of the Riemann Zeta Function.
[2] G. Everest, C. Rottger and T. Ward, The continuing story of zeta.
