Godels onvolledigheidsstelling

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Reageer

Bericht 02-07-'13, 22:03

De leek

Berichten: 126

Godels onvolledigheidsstelling

Hey beste mensen,

Ik heb zijdelings wat gehoord en opgezocht over de onvolledigheidsstelling van Godel. Ik snap de technische details niet precies maar als ik het goed begrijp komt het op het volgende neer:

- Geen enkel axiomatisch systeem kan zijn eigen consistentie bewijzen. Dus gegeven een axiomatisch stelsel kun je niet uitsluiten dat er een uitspraak x bestaat, zo dat zowel x als de negatie van x te bewijzen zijn binnen dat axiomatische stelsel.

- Binnen elk stelsel heb je beweringen die in de taal van dat systeem niet te bewijzen zijn.

Ten eerste de vraag of ik dit zo goed begrepen heb. Verder vraag ik me dan af hoe Godel dit zelf heeft kunnen gebruiken. Hij heeft immers zijn onvolledigheidsstelling bewezen maar voor een bewijs is altijd een logische(axiomatische) basis nodig lijkt mij. Dus heeft hij voor zijn bewijs ook gebruik gemaakt van een bepaald logisch systeem. Maar wie zegt dat dat logische systeem zelf wel consistent is?

De stelling lijkt op deze manier zijn eigen bewijs te ondergraven. Want als het stelsel inconsistent is waaruit deze stelling is afgeleid(wat volgens de stelling zelf niet ontkracht kan worden) zou het ook kunnen dat die niet klopt, in welk geval er wel degelijk een axiomatische basis kan bestaan die zijn eigen consistentie kan bewijzen en dan zou je dus wel de juistheid van dat systeem moeten kunnen bewijzen.....

Is het stelsel echter consistent, dan bestaat er wel degelijk een stelsel dat zonder twijfel consistent is en dat is in strijd met wat eruit afgeleid wordt waardoor het toch inconsistent is.

Ligt het nou aan mij of is dit een paradox? Hoe kun je iets bewijzen omtrent algemene beperkingen in de consistentie van logische systemen als je voor elk bewijs een logisch systeem nodig hebt(waardoor de waarde van het bewijs zelf onder druk staat).
Omhoog

Bericht 03-07-'13, 13:42

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Godels onvolledigheidsstelling

Heb je al eens op bijvoorbeeld Wikipedia gekeken? http://en.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6del's_incompleteness_theorems

Tijd om er uitgebreider op in te gaan, ontbreekt me nu, maar ik vind die pagina toch al een goed vertrekpunt die (wsl) veel van je vragen al kan oplossen...
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog
Reageer

Terug naar “Wiskunde”