Ik heb een functie
\( y(x) \)
en \( g(x) \)
waarvoor geldt dat:\( g(2) = 2 \cdot y(2) \)
en\( g'(x) = 2 \cdot y'(x). \)
Mijn vraag is nu, geldt\( g(x) = 2 \cdot f(x) \)
voor alle x?Ik zou het zo proberen te bewijzen:
\( g(2 + \Delta t) \approx g(2) + g'(2) \cdot \Delta t \)
en\( y(2 + \Delta t) \approx y(2) + y'(2) \cdot \Delta t \)
Delen door elkaar geeft:\( \frac{g(2 + \Delta t)}{ f(2 + \Delta t)} = \frac{g(2) + g'(2) \cdot \Delta t}{y(2) + y'(2) \cdot \Delta t } = \)
\( \frac{ 2 \cdot y(2) + 2 \cdot y'(2) \cdot \Delta t }{ y(2) + y'(2) \cdot \Delta t } = 2 \cdot 1. \)
De factor tussen beide functies is dus 2. Maar dan kan ik dit verhaaltje herhalen voor t + delta t enz. Is dit een o.k. bewijs? En is er andere ''nettere manier''? Een stelling dit mij kan helpen bijvoorbeeld? bvd!Wellicht zo?
Het geldt dat:
\( g'(x) = 2 \cdot y'(x). \)
, dus\( \int g'(x) = \int 2 \cdot y'(x). \)
\( g(x) = 2 \cdot y(x) + C . \)
gegeven dat \( g(2) = 2 \cdot y(2) \)
, het volgt dat:\( 2 \cdot y(2) = 2 \cdot y(2) + D \)
, dus D = 0 : dus\( g(x) = 2 \cdot f(x) \)
Is dat beter zo?
