Bewijs nodig

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Gesloten

Bericht 22-07-'13, 18:02

The Taffer

Berichten: 27

Bewijs nodig

Hallo

Kan iemand me het bewijs geven voor
\(\lim_{x\to\infty}{\left[x\cdot\sin{\left(\frac{a}{x}\right)}\right]}=a\)
en/of
\(\lim_{x\to\infty}{\left[x\cdot\tan{\left(\frac{a}{x}\right)}\right]}=a\)
alsjeblieft?

Heel erg bedankt.
Omhoog

Bericht 22-07-'13, 18:07

dirkwb

Berichten: 4.246

Re: Bewijs nodig

Hint: wat is de limiet van sin(x)/x als x-> 0?
Quitters never win and winners never quit.
Omhoog

Bericht 22-07-'13, 18:11

The Taffer

Berichten: 27

Re: Bewijs nodig

dirkwb schreef: ↑ma 22 jul 2013, 18:07
Hint: wat is de limiet van sin(x)/x als x-> 0?
\(\infty\)
?

Nee wacht; je bekomt 0/0 (dacht heel even dat sin(0)=1); dus x voorop zetten... Maar hoe kan je x voorop zetten bij sin(x)? Hoe kan je sin(x) schrijven als een product van x?
Omhoog

Bericht 22-07-'13, 18:20

aadkr

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.591

Re: Bewijs nodig

dat is volgens mij niet goed

de limiet van sin(x)/x voor x->0 is 1

je mag hier de regel van L"Hôpital toepassen
Omhoog

Bericht 22-07-'13, 18:29

The Taffer

Berichten: 27

Re: Bewijs nodig

ok, dit gaat je waarschijnlijk niet zo leuk en handig vinden; maar ik heb die regel nooit gezien :/
Omhoog

Bericht 22-07-'13, 18:40

The Taffer

Berichten: 27

Re: Bewijs nodig

Hmm okee ik heb 'm net even bestudeerd :P Hoe kan je daarmee verder?
Omhoog

Bericht 22-07-'13, 18:45

aadkr

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.591

Re: Bewijs nodig

volgens mij neem je de eerste afgeleide van de teller, en die deel je door de eerste afgeleide van de noemer.in de breuk die je dan krijgt vul je x=0 in.
Omhoog

Bericht 22-07-'13, 18:55

aadkr

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.591

Re: Bewijs nodig

laten we even de reactie van de moderator dirkwb afwachten, dirkwb weet veel meer van de wiskunde als ik.
Omhoog

Bericht 22-07-'13, 19:02

mathfreak

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 3.505

Re: Bewijs nodig

Stel
\(\frac{a}{x}=u\)
en druk nu beide limieten eens uit in u.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel
Omhoog

Bericht 22-07-'13, 19:19

The Taffer

Berichten: 27

Re: Bewijs nodig

mathfreak schreef: ↑ma 22 jul 2013, 19:02
Stel
\(\frac{a}{x}=u\)
en druk nu beide limieten eens uit in u.
\(\lim_{\frac{a}{u}\to\infty}{\left[\frac{a}{u}\sin{\left(u\right)}\right]}=a\)
en
\(\lim_{\frac{a}{u}\to\infty}{\left[\frac{a}{u}\tan{\left(u\right)}\right]}=a\)


Maar geen idee hoe je dit kan bewijzen
Omhoog

Bericht 22-07-'13, 19:29

aadkr

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.591

Re: Bewijs nodig

in die eerste limiet moet je volgens mij die x nog vervangen door a/u
Omhoog

Bericht 22-07-'13, 19:32

The Taffer

Berichten: 27

Re: Bewijs nodig

Gedaan; wat nu?
Omhoog

Bericht 22-07-'13, 19:39

aadkr

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.591

Re: Bewijs nodig

u=a/x alsnu x naderd tot+oneindig waar nadert die u dan toe
Omhoog

Bericht 22-07-'13, 19:41

The Taffer

Berichten: 27

Re: Bewijs nodig

0

(iets wat ik graag noteer is "+0" of "-0) (een waarde die nul positief, dan wel negatief nadert, afhankelijk van de waarde van a) is hier een correcte notatie voor?)
Omhoog

Bericht 22-07-'13, 20:18

aadkr

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.591

Re: Bewijs nodig

\(u \uparrow 0 \)
betekent dat u van de negatieve kant tot nul nadert
\(u \downarrow 0 \)
betekent dat u van de positieve kant tot nul nadert

hangt af van de waarde van a (of deze positief is of negatief)

maar dat maakt toch voor de berekening van die limiet niets uit.
Omhoog
Gesloten

Terug naar “Wiskunde”