Achtergrond
Simpel gezegd valt met behulp van de tabel voor een gedefinieerd gedeelte van de getallenlijn te bepalen hoeveel van de getallen daarbinnen deelbaar zijn door de verschillende factoren, en daarmee dus ook(indirect, na een aantal extra bewerkingen) het aantal priemgetallen onder een X. Ik hoop dat e.e.a. duidelijk is. Het is dus gebaseerd op het idee dat:
- 1/2 van een aaneengesloten rij getallen deelbaar is door 2
- 1/3 van de getallen deelbaar is door 3
- 1/2 hiervan, dus 1/6 van het totaal, deelbaar is door zowel 2 als 3, dus al bij de vorige is meegerekend.
De tabel werkt als volgt: je begint bij een bepaalde kolom a, b, c, d of e. je telt de losse waarden erin op, en dit wordt een positief getal. Vervolgens ga je de waarden van de rijen in andere kolommen optellen. Deze worden omstebeurt van de beginwaarde afgetrokken en opgeteld. uiteindelijk komt uit de gehele tabel dus 1 eindwaarde.
Begin je bij a, dan krijg je a - b + c - d + e. deze wordt aangegeven met (hoofdletter!) A
Begin je bij b, dan krijg je b - c + d - e. deze wordt aangegeven met (hoofdletter!) B
De rijen die relevant zijn en dus moeten worden meegenomen zijn alle priemgetallen onder de wortel van het hoogste getal binnen het gedefinieerde deel van de getallenlijn, dus onder de wortel van X. Bij het berekenen van het aantal priemgetallen geldt ook dat alleen de breuken hoeven te worden meegenomen waarin het getal onder de streep kleiner dan X is, maar dat is nu niet relevant.
Binnen de tabel zijn een aantal verschillende fenomenen zichtbaar, en ook een aantal verschillende 'formules'. Er valt ook een aantal zaken over te zeggen. Helaas krijg ik niet voldoende grip erop om ook de conclusie te trekken waar ik naar opzoek ben. hier komt ik zo op terug. Eerst een aantal zaken die wel met zekerheid te zeggen zijn:
- A kan nooit groter worden dan 1. Immers zijn er altijd priemgetallen, die dus niet deelbaar zijn.
- a kan oneindig groot worden. dit blijkt uit de rieman zeta functie.
- B, C, D en E kunnen nooit groter worden dan 1. Om dezelfde reden als bij A.
- b kan oneindig groot worden. Een gedeelte van b valt te herschrijven als 1/2*(1/3+1/5+1/7+1/11). deze nadert dus de helft van a. ook valt er een deel te herschrijven als 1/3*(1/5+1/7+1/11), deze nadert dus 1/3e van a. Op deze manier nadert b ook a naarmate je grotere getallen neemt.
Immers is het verschil tussen a en b niet groter dan 1, omdat A niet groter dan 1 kan worden.
- voor elk nieuwe priemgetal verschijnt er ook weer een nieuwe kolom.
- a < b < c < d < e
- 1 > A > B > C > D > E > 0
ik durf niet met zekerheid te zeggen of c ook nog oneindig groot zal worden.
De Vraag
De vraag waar ik nu mee zit is de volgende: hoe gedraagt A zich wanneer je de kolommen gaat vermenigvuldigen. en wel op de hieropvolgende manier.
a * 2^0
b * 2^1
c * 2^2
d * 2^3
e * 2^4
Kunnen we nu bijvoorbeeld zeggen dat A niet kleiner kan worden dan -1? Of wordt A oneindig klein? Ik kan een hoop begrijpen maar dit gaat mijn petje te boven dus ik hoop dat iemand met een meer kennis over de materie hier iets over kan zeggen.
