Springen naar inhoud

[WISKUNDE - INTEGRATIE] poolcoordinaten


  • Log in om te kunnen reageren

#1

moernoo

    moernoo


  • 0 - 25 berichten
  • 19 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 04 januari 2006 - 15:33

Hallo,

kan er mij soms iemand helpen met de grenzen in poolcoordinaten te bepalen van volgende oefening?

Geplaatste afbeelding


alvast bedankt en
grtz, Bart

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

dr. E. Noether

    dr. E. Noether


  • >25 berichten
  • 96 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 januari 2006 - 16:17

Veel studenten proberen rechtstreeks te vertalen naar poolcoordinaten, wat vaak tot fouten leidt. Doe dit niet en maak voor jezelf gewoon een plaatje van het integratiegebied--ook al is dat wat minder 'stoer'--en je ziet direct wat de grenzen moeten zijn in poolcoordinaten. In jouw opgave wordt door de Cartheische grenzen een stukje cirkel ingesloten, namelijk een 8-ste deel van een cirkel met straal 1 net links van de positieve y-as. De hoek theta ligt dus tussen (1/2)*pi en (3/4)*pi en r tussen 0 en 1. De functie zelf omschrijven mag geen probleem opleveren. Succes ermee.

N.B. Dit is trouwens een dubbelpost. Ik vind het huiswerk en heb dus maar hier gereageerd.

#3

moernoo

    moernoo


  • 0 - 25 berichten
  • 19 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 04 januari 2006 - 16:27

ja, ik wist zelf niet goed waar het het best thuishoorde...

maar toch bedankt voor de reactie,

maar is het niet zo dat bijvoorbeeld de grenzen van r moeten afhangen van theta?
dat ze niet beide (theta en r) onafhankelijk (dus met constanten) mogen bepaald worden.

kan het dan kloppen dat r dan ligt tussen 0 en sin(theta) - ( wortel(2) )/2 ?

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 04 januari 2006 - 16:30

Volgens mij klopt de uitwerking van dr. E. Noether niet, maar ik kan me vergissen natuurlijk.

Als ik het cartesisch bekijk is het niet het stukje cirkel, maar een gedeelte buiten de cirkel. Als je voor y tussen sqrt(2)/2 en 1 de x-waarden laat lopen vanaf -y (dan zit je buiten de cirkel) tot aan de cirkel, dan heb je volgens mij het integratiegebied. In dat geval zal r inderdaad afhangen van t, vermits die bovengrens dan y = 1 dus rsint = 1 => r = 1/sint is. Volgens mij loopt r dan van 1 tot 1/sint en t loopt van -3pi/4 tot -pi/2.

Plaatje ter verduidelijking:

Geplaatste afbeelding

#5

dr. E. Noether

    dr. E. Noether


  • >25 berichten
  • 96 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 januari 2006 - 16:36

Ajaa, inderdaad TD, nu zondig ik zelf! Stom stom. r hangt af van theta als het integratiegebied in poolcoordinaten geen cirkelsegment is, dus zoals hier. Excuses voor deze blunder.

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 04 januari 2006 - 16:37

Geen probleem, toen ik de schets maakte leek een cirkelsegment ook voor de hand te liggen, maar dat is hier (helaas?) niet het geval...

Voor moernoo:
Op de schets zie je nu hoe de hoek loopt, dat is niet zo moeilijk.
Voor r starten we dus van aan de cirkel (r is daar 1) en we gaan tot waar y gelijk wordt aan 1, maar y = rsint dus rsint = 1 :roll: r = 1/sint en dat zijn je grenzen voor r.

Als antwoord vind ik: 1 - 3 [wortel]2/4

#7

moernoo

    moernoo


  • 0 - 25 berichten
  • 19 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 05 januari 2006 - 11:59

TD!, u antwoord is zeker al juist, dat weet ik adhv de oplossingenbundel,

maar ik snap de grenzen voor r niet, als u zegt: "Volgens mij loopt r dan van 1 tot 1/sint"...

dan heb ik persoonlijk het idee dat hiermee het stuk (in uw tekening) boven de lijn van wortel2/2, en onder de lijn van 1. en
tussen de cirkel en de y-as
bedoeld wordt. (onder de cirkel dus)

naar mijn gevoel moet r toch beginnen vanaf 0 (op de yas, waar het groene gedeelte eindigt in een punt) tot ietsje meer (wat ik nu nog ni weet) wat dan de lengte van de schuine zijde van het groene stuk voorstelt.

Bart

#8

dr. E. Noether

    dr. E. Noether


  • >25 berichten
  • 96 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 januari 2006 - 12:16

Moernoo, voor de bovenste grens, zie r samen met theta.gif als een wijzer van een klok die over het integratiegebied heen gaat. De wijzer staat eerst pal naar boven en heeft daar lengte 1. Naarmate de wijzer linksom draait moet deze langer worden opdat het uiteinde van de wijzer over de rechte lijn y = 1 beweegt. Uit goniometrie volgt dat de lengte van de wijzer overeen komt met 1/sin( theta.gif ). De andere grens van het integratiegebied is een stuk cirkelboog met straal 1. Dit is onafhankelijk van theta.gif . r ligt aldus tussen 1 en 1/sin( theta.gif ).

#9

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 januari 2006 - 12:49

naar mijn gevoel moet r toch beginnen vanaf 0 (op de yas, waar het groene gedeelte eindigt in een punt) tot ietsje meer (wat ik nu nog ni weet) wat dan de lengte van de schuine zijde van het groene stuk voorstelt.

Het is toch dat groene gebied en niet hetgene daarlangs. Herinner je terug de cartesische grenzen. Daarin liep y steeds van [wortel]2/2 tot 1 (dus het gebied tussen de twee rechten) en voor elke y liep x dan van -y (dus die tweede bissectrice) naar de rand van de cirkel (en niet van de rand van de cirkel naar de y-as, dat zou jouw gebied geven)
Samen geeft dat het groene gebied, met grenzen in poolcoördinaten zoals eerder uitgelegd.

Duidelijk zo?

#10

moernoo

    moernoo


  • 0 - 25 berichten
  • 19 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 05 januari 2006 - 13:42

ik weet waar mijn misverstand zat:

ik wou r bepalen als een 'wijzer van de klok die draait', maar dan enkel de lengte van het stuk van de wijzer die dan in dat groene gebied zit.

en zei dus zoiets in de zin van: de grootte van dit stuk kan minimaal 0 zijn, en maximaal ... (schuine zijde van groen stuk)

maar die redenering is verkeerd.

het minimum en het maximum moeten gedefinieerd worden tov de straal r.
dus dié wordt minimum 1 en maximum 1/sin(t)..

Dit is, vind ik persoonlijk, wel een belangrijk inzicht van mijzelf, om alle oefeningen van poolcoordinaten te begrijpen.

Dank aan TD! en dr. E. Noether voor de moeite en de informatieve uitleg !


Bart

#11

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 januari 2006 - 13:45

Graag gedaan, verder succes nog!





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures