Springen naar inhoud

Inverse laplace transformatie


  • Log in om te kunnen reageren

#1

elbartje

    elbartje


  • >100 berichten
  • 135 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 augustus 2013 - 16:50

Ik loop vast bij deze inverse laplace transformatie:

LaTeX

Ik heb al verschillende pogingen gedaan maar steeds loop ik vast:

Omgekeerde vermenigvuldigingsregel:

LaTeX

= LaTeX
btan staat niet in mijn formularium dus ik vermoed dat ik ergens een fout maak.

Convolutie eigenschap

LaTeX

LaTeX

LaTeX

Met deze integraal loop ik ook weer vast..

Misschien is er nog een gemakkelijkere andere methode of kan iemand mij op mijn fouten wijzen ?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Anton_v_U

    Anton_v_U


  • >1k berichten
  • 1620 berichten
  • Validating

Geplaatst op 19 augustus 2013 - 17:53

Gebruik convolutie en los de integraal op met de formule: sin(a) sin(b) = 1/2 cos(a-b) - 1/2 cos(a+b)
een som van cosinussen valt gemakkelijker te integreren dan een product van sinussen.

Als je die formule niet bij de hand hebt, kun je hem eenvoudig afleiden met de formule van Euler:

cos(a+b) = Re {exp(i(a+b)} = Re {exp(ia) exp(ib)} = cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) [1]
=> cos(a-b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b) [2]
nu [2] - [1]

#3

elbartje

    elbartje


  • >100 berichten
  • 135 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 augustus 2013 - 19:23

Bedankt dat heeft me geholpen !

#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 20 augustus 2013 - 07:42

Opmerking moderator :

Verplaatst naar Analyse.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#5

elbartje

    elbartje


  • >100 berichten
  • 135 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 augustus 2013 - 10:57

Kan iemand me met deze ook verder helpen, ik zie het niet.

LaTeX

Veranderd door elbartje, 20 augustus 2013 - 10:58


#6

Anton_v_U

    Anton_v_U


  • >1k berichten
  • 1620 berichten
  • Validating

Geplaatst op 20 augustus 2013 - 11:39

Ontbind het noemer polynoom in factoren: s2(s-p1)(s-p2). De polen zijn i.h.a. complex. Lukt het dan?

#7

elbartje

    elbartje


  • >100 berichten
  • 135 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 augustus 2013 - 11:54

Ik weet niet hoe ik verder moet werken met complexe polen.
Als ik dit bereken met wolfram alpha krijg ik ook een oplossing met sinus en cosinus (zonder complexe getallen), is er een mogelijkheid om die te bekomen zonder complex te moeten rekenen ?

#8

Anton_v_U

    Anton_v_U


  • >1k berichten
  • 1620 berichten
  • Validating

Geplaatst op 20 augustus 2013 - 12:36

Ik weet niet wat wolfram alpha is, maar als je het gewoon wilt uitrekenen is dit de methode:

Teller en noemerpolynoom ontbinden in factoren en L transform schrijven als een product van factoren.
Factoren apart L-transformeren.
Convolutie van de inverse transforms in te tijd domein uitrekenen

Regel: inverse van product van L transforms is convolutie van de inverse van de transforms
zie http://en.wikipedia....place_transform

In de analyse van lineaire systemen (en waarom zou je anders willen laplace transformeren) is het cruciaal dat je begrijpt wat complexe polen betekenen. Hun plaats in het complexe vlak heeft een betekenis die te maken heeft met de frequentie van eigentrillingen en stabiliteit.

#9

elbartje

    elbartje


  • >100 berichten
  • 135 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 augustus 2013 - 13:25

Ok, ik ga het proberen:

LaTeX

Ik dacht dat convolutie enkel mocht met 2 functies dus ik zal de 3de term even laten voor wat hij is:

LaTeX = LaTeX

LaTeX = LaTeX

=LaTeX =
LaTeX

en zo verder uitwerken, als ik al niet ergens een fout heb begaan.

Wolfram Alpha is een zeer interessante site
Deze geeft ook een oplossing die geen complexe getallen bevat:
LaTeX

#10

Anton_v_U

    Anton_v_U


  • >1k berichten
  • 1620 berichten
  • Validating

Geplaatst op 20 augustus 2013 - 14:12

Wacht even, da's waar ook (het is al bijna 30 jaar geleden) je moet de complex geconjugeerde polen samenpakken: (s - p) (s - p*) = (s - α)2+ ω2.

Hierin is α = Re(p) en ω = Im(p). Dit levert een gedempte sinus met een of andere fase die afhangt van wat er in de teller staat (kijk maar in de tabel van L transforms).

Uiteraard is de oplossing reëel want het karakteristieke polynoom heeft reële coëfficienten.

Het leuke is - ook daarom is het handig iets van de polen te snappen - een reëel polynoom heeft complex geconjugeerde nulpunten => een reëel systeem heeft complex geconjugeerde polen en nulpunten => (via de eigenschappen van de Laplace transform) een reëel systeem heeft een reële imulsrespons.

#11

elbartje

    elbartje


  • >100 berichten
  • 135 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 augustus 2013 - 15:40

Ok ik zal het proberen:

LaTeX = LaTeX

Na convolutie geeft dit:
LaTeX

Dan moet ik deze integraal oplossen waar ik ook weer vast loop :(

LaTeX

Veranderd door elbartje, 20 augustus 2013 - 15:42


#12

Anton_v_U

    Anton_v_U


  • >1k berichten
  • 1620 berichten
  • Validating

Geplaatst op 20 augustus 2013 - 16:10

Er zijn vast meer manieren, maar probeer dit eens: Als je exp(iets)sin(iets anders) ziet, dan zie je als het goed is meteen dat je dit kunt vereenvoudigen tot het imaginaire deel van een complexe e macht:
.
Schrijf de integraal dus: Im greek036.gifu exp[-3t -3u + i(t-u)] du
Die is op te lossen, zie verder http://integral-table.com/ nr 60
Van de oplossing van de complexe integraal neem je dus het imaginaire deel.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures