Springen naar inhoud

Logica, set theory



  • Log in om te kunnen reageren

#1

terrait

    terrait


  • 0 - 25 berichten
  • 23 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 07 september 2013 - 14:33

De vraag waarbij ik vastloop gaat als volgt:
Give an inifinite sequence LaTeX such that
LaTeX
Also provide a sequence for which the above statement is false.

Ik ben begonnen met de stelling naar het nederlands te vertalen:
Voor alle LaTeX is er één LaTeX voor alle LaTeX waarvoor geldt (LaTeX ).
Ik heb echter nog steeds niet een goed idee wat ze nu bedoel met de stelling en dus ook geen idee hoe ik die sequences moet vinden...
Kan iemand me misschien op weg helpen of me vertellen wat de stelling precies zegt

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

mathfreak

    mathfreak


  • >1k berichten
  • 2461 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 september 2013 - 17:26

Jij stelt dat er precies een waarde van k moet zijn, maar dat klopt niet. Er bestaat minstens één waarde van k. Als je met kwantoren aan wilt geven dat er precies een waarde is komt er een uitroepteken achter de existentiële kwantor te staan.
Dan nu de opgave: laat m een gegeven natuurlijk getal zijn en nm een ander natuurlijk getal. Laat een rij met n-de term an gegeven zijn. Beschouw nu afzonderlijk de situaties waarbij de rij monotoon stijgend of dalend is, en kijk of je bij een gegeven m en n een k kunt vinden die aan de voorwaarde an≥k voldoet.

Veranderd door mathfreak, 07 september 2013 - 17:26

"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

#3

terrait

    terrait


  • 0 - 25 berichten
  • 23 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 07 september 2013 - 20:51

Jij stelt dat er precies een waarde van k moet zijn, maar dat klopt niet. Er bestaat minstens één waarde van k. Als je met kwantoren aan wilt geven dat er precies een waarde is komt er een uitroepteken achter de existentiële kwantor te staan.
Dan nu de opgave: laat m een gegeven natuurlijk getal zijn en nm een ander natuurlijk getal. Laat een rij met n-de term an gegeven zijn. Beschouw nu afzonderlijk de situaties waarbij de rij monotoon stijgend of dalend is, en kijk of je bij een gegeven m en n een k kunt vinden die aan de voorwaarde an≥k voldoet.

Als we de verzameling LaTeX hebben dan is er altijd wel een k te vinden die kleiner is dan an lijkt me aangezien an = {2, 3, 4, ...} en k bijv. 1 kan zijn en dus kleiner is. Het lukt me echter niet een verzameling te verzinnen waar er niet voor alle an een reëel getal te verzinnen is die kleiner is dan an . Waarschijnlijk doe ik dus nog steeds iets fout...

#4

rwwh

    rwwh


  • >5k berichten
  • 6847 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 08 september 2013 - 08:53

Het lukt me echter niet een verzameling te verzinnen waar er niet voor alle an een reëel getal te verzinnen is die kleiner is dan an . Waarschijnlijk doe ik dus nog steeds iets fout...

Vereenvoudig de opgave nu eens precies tot wat je hier zegt. Kun je een (oneindige!) verzameling verzinnen waarvoor geldt dat er voor welk reëel getal je dan ook in gedachte neemt, er minstens 1 element uit de verzameling kleiner is dan dat getal?

#5

terrait

    terrait


  • 0 - 25 berichten
  • 23 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 08 september 2013 - 12:10

Vereenvoudig de opgave nu eens precies tot wat je hier zegt. Kun je een (oneindige!) verzameling verzinnen waarvoor geldt dat er voor welk reëel getal je dan ook in gedachte neemt, er minstens 1 element uit de verzameling kleiner is dan dat getal?

Het lijkt me dat de verzameling van de reële getallen altijd een element heeft die kleiner is dan elke k. Ik weet echter niet precies hoe ik dat op kan schrijven als een verzameling, waarbij ik me hou aan de andere beweringen in de stelling.
LaTeX aan zoiets zat ik te denken, maar de notatie is waarschijnlijk niet goed. Was de andere verzameling trouwens wel correct?

#6

rwwh

    rwwh


  • >5k berichten
  • 6847 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 08 september 2013 - 12:19

Eerst even: ik ben geen wiskundige, dus misschien gebruik ik de verkeerde terminologie. Maar toch denk ik dat ik je kan helpen.

Als je je set LaTeX nu eens zou tekenen als een set punten in een grafiek. Je zet LaTeX op de x-as, en LaTeX op de y-as. De set loopt oneindig ver naar rechts door (dat is een sleutel!). De opdracht is nu om een integer LaTeX en een reëel getal LaTeX te kiezen zodat het horizontale lijnstuk getrokken vanaf LaTeX naar rechts in de grafiek alleen onder, en niet boven punten in de verzameling ligt. Wanneer zou je zo'n punt LaTeX zeker niet kunnen vinden?

#7

terrait

    terrait


  • 0 - 25 berichten
  • 23 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 08 september 2013 - 12:52

Eerst even: ik ben geen wiskundige, dus misschien gebruik ik de verkeerde terminologie. Maar toch denk ik dat ik je kan helpen.

Als je je set LaTeX

nu eens zou tekenen als een set punten in een grafiek. Je zet LaTeX op de x-as, en LaTeX op de y-as. De set loopt oneindig ver naar rechts door (dat is een sleutel!). De opdracht is nu om een integer LaTeX en een reëel getal LaTeX te kiezen zodat het horizontale lijnstuk getrokken vanaf LaTeX naar rechts in de grafiek alleen onder, en niet boven punten in de verzameling ligt. Wanneer zou je zo'n punt LaTeX zeker niet kunnen vinden?

Als an daalt bedoel je?

#8

rwwh

    rwwh


  • >5k berichten
  • 6847 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 08 september 2013 - 12:54

Ja, dat is het. Als er een structuur in zit die ervoor zorgt dat er altijd een volgende is die nog lager is, dan kun je geen laagste kiezen.

#9

terrait

    terrait


  • 0 - 25 berichten
  • 23 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 08 september 2013 - 13:01

Ja, dat is het. Als er een structuur in zit die ervoor zorgt dat er altijd een volgende is die nog lager is, dan kun je geen laagste kiezen.

Dus de verzameling LaTeX zou niet voldoen aan de stelling?

#10

rwwh

    rwwh


  • >5k berichten
  • 6847 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 08 september 2013 - 13:06

Hm. We hebben het niet over verzamelingen, maar over sequenties, toch? En: als je dit even omtovert tot een sequentie, dan is die toch monotoon stijgend?

Overigens was ik niet nauwkeurig, want je kunt ook monotoon dalende sequenties maken die een limiet bereiken, en dan kun je nog steeds een getal vinden dat eronder ligt.

LaTeX voldoet dus nog wel, maar LaTeX niet meer.

Ik probeerde te zeggen dat je niet eens een monotoon dalende functie nodig hebt om een sequentie te verzinnen die niet aan de stelling voldoet. Neem bijvoorbeeld LaTeX of: LaTeX als LaTeX even, en LaTeX als LaTeX oneven.

#11

terrait

    terrait


  • 0 - 25 berichten
  • 23 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 08 september 2013 - 13:12

Die is toch monotoon stijgend?

Overigens was ik niet nauwkeurig, want je kunt ook monotoon dalende sets maken die een limiet bereiken, en dan kun je nog steeds een getal vinden dat eronder ligt.

LaTeX

voldoet dus nog wel, maar LaTeX niet meer.

Je hebt gelijk, hij is inderdaad nog stijgend. Mijn bedoeling was eigenlijk een verzameling als LaTeX te geven, maar dit zorgt voor contradicties, dus LaTeX is een stuk beter.

#12

rwwh

    rwwh


  • >5k berichten
  • 6847 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 08 september 2013 - 13:14

Ik had weer een onnauwkeurige post gemaakt.... Sorry, ik heb mijn bericht hierboven wat aangepast terwijl je al bezig was een antwoord te maken.

#13

terrait

    terrait


  • 0 - 25 berichten
  • 23 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 08 september 2013 - 13:16

Ik probeerde te zeggen dat je niet eens een monotoon dalende functie nodig hebt om een sequentie te verzinnen die niet aan de stelling voldoet. Neem bijvoorbeeld LaTeX

of: LaTeX als LaTeX even, en LaTeX als LaTeX oneven.

Ah dat is waar, aangezien LaTeX uiteindelijk wel daalt en dus de horizontale lijn van m,k uiteindelijk naar rechts uitkomt bij an
En je hebt volgens mij ook gelijk over dat een verzameling niet gelijk is een aan reeks. Als reeks zou ik dus kunnen geven 2, 1, 0, ... of iets dergelijks voor de reeks die niet voldoet aan de stelling?

Veranderd door terrait, 08 september 2013 - 13:19


#14

rwwh

    rwwh


  • >5k berichten
  • 6847 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 09 september 2013 - 19:51

Dat lijkt me een mooi voorbeeld. Zelf zou ik als dwarsligger op zo'n opgave waarschijnlijk een voorbeeld kiezen dat niet monotoon dalend is ;-)






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures