Springen naar inhoud

(Complexe) uitbreidingen van functies


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Vrugtehagel

    Vrugtehagel


  • 0 - 25 berichten
  • 2 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 07 september 2013 - 20:14

Hallo,

ik heb een vraag. Ik las laatst een artikel over het uitbreiden van de zeta-functie naar het complexe vlak. Er stond alleen hoe je die kon uitbreiden naar x>0 i.p.v. x>1, niet naar alle getallen, maar dat is het probleem niet. Hierdoor kwam wel de vraag in me op: hoe moet je nou een functie uitbreiden naar een groter domein? Zijn daar specifieke technieken voor of moet je voor elke functie weer een ander geniaal trucje bedenken?
Alle antwoorden zijn welkom, ook voorbeelden (kan ik ook veel mee).

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Esthetisch

    Esthetisch


  • >100 berichten
  • 113 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 07 september 2013 - 22:42

Ik had precies dezelfde vraag:
http://www.wetenscha...789#entry964789
Destruction has an end. Creation doesn't.

#3

Vrugtehagel

    Vrugtehagel


  • 0 - 25 berichten
  • 2 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 08 september 2013 - 10:43

Ik bedoel niet de zeta-functie specifiek, maar functies in het algemeen, ik kwam door jou vraag op het idee ;p.

#4

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 11 september 2013 - 07:01

Stel je hebt een functie voor x>0 en dat de functie bij uitbreiding op (bij voorbeeld) LaTeX bestaat, alleen we kennen de functie slechts voor x>0.
Kies een punt in het gebied met x>0 (zeg punt C op afstand d van de oorsprong).
Dan heeft de machtreeksontwikkeling in C een convergentiestraal d.

Je kunt dus door C goed te kiezen en de machtreeks daarin te bepalen de functiewaarde in elk punt van het domein berekenen.

#5

Esthetisch

    Esthetisch


  • >100 berichten
  • 113 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 14 september 2013 - 20:20

Stel je hebt een functie voor x>0 en dat de functie bij uitbreiding op (bij voorbeeld) LaTeX

bestaat, alleen we kennen de functie slechts voor x>0.
Kies een punt in het gebied met x>0 (zeg punt C op afstand d van de oorsprong).
Dan heeft de machtreeksontwikkeling in C een convergentiestraal d.

Je kunt dus door C goed te kiezen en de machtreeks daarin te bepalen de functiewaarde in elk punt van het domein berekenen.

Als ik het goed begrijp heb je dus een punt op de x-as, en wordt vanuit dat punt de gehele y-'as' thv dat punt op de x-as gegeven. Die 'projectie' gebeurt dan door een zekere berekening met machtreeksen en convergentiestralen.

Klopt dat of begrijp ik het niet goed?
Destruction has an end. Creation doesn't.

#6

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 14 september 2013 - 21:05

Ik zie wat je bedoelt. Het is anders.
Nogmaals:
Stel je hebt een functie voor x>0 (d.w.z. voor alle complexe getallen x+yi met x>0) en dat de functie bij uitbreiding op (bij voorbeeld) LaTeX bestaat, alleen we kennen de functie slechts voor x>0 (d.w.z. voor alle complexe getallen x+yi met x>0).
Kies een punt in het gebied met x>0 (d.w.z. voor alle complexe getallen x+yi met x>0), zeg punt C op afstand d van de oorsprong.
Dan heeft de machtreeksontwikkeling in C een convergentiestraal d.

Je kunt dus door C goed te kiezen en de machtreeks daarin te bepalen de functiewaarde in elk punt van het domein berekenen.

Veranderd door PeterPan, 14 september 2013 - 21:07


#7

Esthetisch

    Esthetisch


  • >100 berichten
  • 113 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 14 september 2013 - 21:35

Ah dat is erg jammer dan. Volgens mij had de vraag van Vrugtehagel, en ook hetgeen waar ik naar op zoek ben, meer te maken met het uitbreiden van een functie x>0 naar het complexe vlak, dus naar x>0 en y
Destruction has an end. Creation doesn't.

#8

Th.B

    Th.B


  • >250 berichten
  • 523 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 september 2013 - 23:29

@Peter Pan: je zegt dat je de functie (van jouw voorbeeld dan) kunt uitbreiden wanneer je weet dat hij 'bestaat' op het interval waarop hij nog niet gedefinieerd is, als ik het goed begrijp (zo niet, verbeter me dan). Hoe kun je weten of een functie zal bestaan op een interval waarop hij nog niet gedefinieerd is? Dat is me niet helemaal duidelijk.

#9

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 15 september 2013 - 09:02

Ah dat is erg jammer dan. Volgens mij had de vraag van Vrugtehagel, en ook hetgeen waar ik naar op zoek ben, meer te maken met het uitbreiden van een functie x>0 naar het complexe vlak, dus naar x>0 en y

Dat gaat net zo.
Stel je hebt een reële functie op LaTeX .
Kies een reële a>0. Bepaal daar de machtreeks. Als die bestaat in a en de convergentiestraal is R, dan kun je de functie zien als een complexe functie die bestaat voor alle complexe punten op afstand <R van punt a.
Je weet dan ook zeker dat de functieuitbreiding niet bestaat in een punt ergens op de rand van de convergentiestraal.

#10

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 15 september 2013 - 09:14

@Peter Pan: je zegt dat je de functie (van jouw voorbeeld dan) kunt uitbreiden wanneer je weet dat hij 'bestaat' op het interval waarop hij nog niet gedefinieerd is, als ik het goed begrijp (zo niet, verbeter me dan). Hoe kun je weten of een functie zal bestaan op een interval waarop hij nog niet gedefinieerd is? Dat is me niet helemaal duidelijk.

Dat kun je niet weten. Je kunt ook niet weten of er een schat begraven ligt in je tuin. Maar als iemand het beweert, dan ga je zoeken. En als het er ligt zul je bij goed zoeken de schat ook vinden.

#11

Th.B

    Th.B


  • >250 berichten
  • 523 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 september 2013 - 11:52

Maar niet elke functie is dus uit te breiden naar een groter domein?

#12

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 15 september 2013 - 15:15

Maar niet elke functie is dus uit te breiden naar een groter domein?

Alle functies die gedefinieerd zijn op hun maximale domein zijn niet uit te breiden naar een groter domein.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures