Springen naar inhoud

De radius en massa van een voorwerp waarvan het niet mogelijk is te ontsnappen.


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Grub

    Grub


  • 0 - 25 berichten
  • 2 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 21 september 2013 - 21:21

Hallo, ik had laatst een discussie met iemand die stelde dat de klassieke mechanica geen object zoals een
zwartgat toelaat. Dus het leek mij een goed idee een poging te doen om te bewijzen dat zoiets wel degelijk mogelijk is, of in ieder geval de kenmerkende eigenschap dat er niks aan kan ontsnappen.
Ik ben niet uitgaan van een singulariteit maar simpelweg een bolvormige massa, met de veronderstelling dat massa toeneem met ~LaTeX en dat een voorwerp probeert weg te komen vanaf het oppervlak (tot oneindig), zodat dus de minimale afstand tot de massa met LaTeX toeneemt. Waardoor er vervolgens een moment is dat er een snelheid groter dan de lichtsnelheid nodig zou zijn om weg te kunnen komen vanaf dat punt. Ik heb het vervolgens zo uitgewerkt:

LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX

LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX

vervolgens bereken ik de massa radius verhouding

LaTeX
LaTeX
LaTeX

en de massa radius verhouding volgens dichtheid en volume

LaTeX

daarna dit met het voorgaande combineren
LaTeX
LaTeX .

Dit geeft, wanneer ik voor de dichtheid LaTeX kies, een voorwerp met een radius van LaTeX en een massa LaTeX . Toegegeven het is vrij veel, maar gelukkig nog altijd minder dan de massa van het waarneembare universum. Ik realiseer me dat dit geen echt bewijs is of iets dergelijks, maar het laat hopelijk enigszins zien dat er wellicht een object zou kunnen bestaan waarvan het niet mogelijk is te ontsnappen.
Nou vroeg ik mij af, aangezien mijn mechanica niet is wat het zou moeten zijn, heb ik dit zo correct gedaan?
Ookal had deze persoon het waarschijnlijk over singulariteiten, het leek me alsnog een leuke oefening om dit eens op deze manier te bekijken.

Mvg
Grub

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Michel Uphoff

    Michel Uphoff


  • >5k berichten
  • 5389 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 22 september 2013 - 15:40

Ik heb jouw formules en afleidingen niet doorgenomen, maar in principe vormt iedere niet roterende massa die binnen zijn eigen Schwarzschildbol past, een zwart gat. Het hoeft inderdaad niet per se een singulariteit te zijn (hoewel niemand zich er vooralsnog iets anders bij kan voorstellen).

Punt is, dat jij uitgaat van een 'Aardse' dichtheid van slechts 2,65. De dichtheid van een massa zal meestal lang voordat de Schwarzschildradius wordt genaderd sterk toenemen. Denk bijvoorbeeld aan de materie in witte dwergen en neutronensterren met ongelofelijke dichtheden, louter door de druk.

M.a.w. er bestaat geen materiaal dat een klein black hole (of iets dat daar in de buurt van komt) kan vormen, en toch die geringe dichtheid behoudt.

Maar voor extreem grote black holes ligt dit anders; hoe groter de Schwarzschildradius, hoe kleiner de gemiddelde dichtheid mag zijn. Het heelal zou, als de straal kleiner zou zijn dan, zeer ruw geschat, 80 miljard lichtjaar zelfs binnen zijn eigen Schwarzschildbol passen.

We kunnen er de Schwarzschildformule even op los laten:

Geplaatste afbeelding

rs is de Schwarzschildstraal in meters
G is gravitatieconstante, 6,67 × 10−11 in Nm2/kg2
m de massa van het object in kg
c de lichtsnelheid, 299 792 458 in m/s

Ik kom dan voor jouw 3,2.1037 kg op een straal van 4,749 . 1010 meter.

Dat is een enorm black hole, ongeveer zo zwaar als 16 miljoen zonnen en die hoeven geen enorme gemiddelde dichtheid te hebben (even los van het singulariteitsprobleem).

Dat is slechts een factor 3 verwijderd van jouw uitkomst!
Het is duidelijk dat al het materiaal binnen deze radius moet vallen en dus dat jouw dichtheid te laag is, maar niet veel. Ergens een pi of zo fout behandeld?
Motus inter corpora relativus tantum est.

#3

Grub

    Grub


  • 0 - 25 berichten
  • 2 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 23 september 2013 - 15:29

Ten eerste, bedank voor de uitgebreide en heldere reactie.
Ik realiseerde mij inderdaad dat de dichtheid zal toenemen voordat de berekende hoeveelheid materie blijkt zou zijn en dat er in de praktijk dus minder materie nodig zal zijn. Maar het lukte me helaas niet om daar op een nette manier voor te compenseren. Ik ben nog eens door mijn berekeningen heen gegaan maar ik kan helaas niet vinden waar ik de fout ben ingegaan.

Maar voor extreem grote black holes ligt dit anders; hoe groter de Schwarzschildradius, hoe kleiner de gemiddelde dichtheid mag zijn. Het heelal zou, als de straal kleiner zou zijn dan, zeer ruw geschat, 80 miljard lichtjaar zelfs binnen zijn eigen Schwarzschildbol passen


Hoe zit dat dan vraag ik me af, want er was toch een tijd, uitgaande van de big bang dat het heelal kleiner moet zijn geweest dan 80 miljard lichtjaar met dezelfde hoeveelheid materie als nu?

#4

Michel Uphoff

    Michel Uphoff


  • >5k berichten
  • 5389 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 23 september 2013 - 21:30

Hoe zit dat dan vraag ik me af, want er was toch een tijd, uitgaande van de big bang dat het heelal kleiner moet zijn geweest dan 80 miljard lichtjaar met dezelfde hoeveelheid materie als nu?


Goede vraag, en ik heb er geen echt antwoord op. Wellicht is het heelal ook nu een (hyper) black hole, daar wordt wel over gespeculeerd. Zie dit artikeltje over black hole kosmologie.

De redelijk bekende theoretisch fysicus Nikodem Poplawski klik stelt:

Accordingly, our own universe may be the interior of a black hole existing inside another universe.

Zijn paper in Physical Letters kan je hier vinden: klik

De basis van de hypothese is dat er geen singulariteit ontstaat in een black hole, omdat de extreme rotatie en gravitatie de omringende ruimtetijd steeds meer torderen. Die torsie zou bij dichtheden groter dan 1050 een tegenkracht opleveren die groot genoeg is om de totale ineenstorting tegen te gaan en te leiden tot de inflatiefase van een nieuw heelal aan de white hole zijde van het black hole wormgat.

Overigens meldde ik in mijn vorige bericht dat de straal er een factor 3 verschilt, dat betekent dat de dichtheid ruwweg een factor 33 = 27 groter moet zijn.
Motus inter corpora relativus tantum est.

#5

pgbakker

    pgbakker


  • >25 berichten
  • 65 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 september 2013 - 13:21

Heb de afleiding van Grub nagelopen en dan blijkt dat als je voor de snelheid s de lichtsnelheid c invult hij de schwarzschild radius heeft afgeleid.
Kortom Grub en Uphoff gebruiken dezelfde formules.

Er zit echter een rekenfoutje in de berekening bij Grub.
Bij een dichtheid van 2.65 x10^3 kg/m^3 wordt de radius 4.502 x10^11 meter en de massa 1.013 x 10^37 kg.

En nu klopt het met Uphoff.

De Schwarzschild radius kun je dus ook uitleggen als de straal die een bolvormige massa nodig hebt om vanaf deze massa met de lichtsnelheid te vertrekken zodat op "oneindig" de snelheid precies nul wordt.

Gr. PGB

#6

Michel Uphoff

    Michel Uphoff


  • >5k berichten
  • 5389 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 29 september 2013 - 14:42

Ergens moet er iets mis zijn.

Volgens mij levert een massa van 1,013.1037 kg een Schwarzschild radius op van 1,5.1010 meter, en de bijbehorende dichtheid moet dan 711 zijn.
Motus inter corpora relativus tantum est.

#7

pgbakker

    pgbakker


  • >25 berichten
  • 65 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 september 2013 - 15:44

Inderdaad, ook ik heb een rekenfout gemaakt.
Daarom even opnieuw.

Als we uitgaan van de Schwarzschild radius : R = 2Gm/c^2 met

m = 4/3.pi.rho.R^3volgt voor de Schwarzschild radius R:

R^2 = 3c^2/(8.pi.rho.G)

Vul ik in:
c= 3 x 10^8 m/s
rho = 2.65 x10^3 kg/m^3,
G = 6.67 x 10^-11 Nm^3/kg^2

dan volgt R = 2.466 x 10^11 meter en massa = 1.665 x 10^38 kg

#8

Michel Uphoff

    Michel Uphoff


  • >5k berichten
  • 5389 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 29 september 2013 - 15:47

massa = 1.665 x 10^38 kg


Mee eens, daaruit volgt een gemiddelde dichtheid van 2,65

De Schwarzschild radius kun je dus ook uitleggen als de straal die een bolvormige massa nodig hebt om vanaf deze massa met de lichtsnelheid te vertrekken zodat op "oneindig" de snelheid precies nul wordt.


Dit vind ik onhelder, kan je het nader verklaren?

Alleen licht (fotonen zonder rustmassa) kan (moet) de lichtsnelheid hebben. Licht dat vanaf de kleinst mogelijk afstand buiten de Schwartzschilradius vertrekt, reist nog steeds met de absolute lichtsnelheid, die wordt nimmer nul. Wel wordt de roodverschuiving vrijwel oneindig en daarmee de temperatuur vrijwel nul.
Licht dat wij exact vanaf de radius zouden willen laten vertrekken heeft buiten die radius een oneindige roodverschuiving en kan daar niet bestaan.
Motus inter corpora relativus tantum est.

#9

pgbakker

    pgbakker


  • >25 berichten
  • 65 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 september 2013 - 16:39

Neem een bolvormige massa met straal R en massa M.
Stel een massa m vangt een reis aan naar het oneindige vanaf het oppervlak van de bol. De beginsnelheid is V0.
Tijdens de reis ondervindt m een gravitatiekracht: G.M.m/r^2 tegengesteld aan de bewegingsrichting. Verder werken er geen andere krachten. Hoe is nu de beweging?

F = m.a levert:

-G.M.m/r^2 = m.a = m.dv/dt = v.dv/dr

Integreren levert:

v^2 = 2.G.M{1/r + Const}

Om terugkeer van m naar M te voorkomen moet v> 0. Pas op het oneindige mag gelden v =0.
Nemen we als randvoorwaarde: v=0 als r naar oneindig dan volgt Const. = 0.
Daarmee volgt:

v^2 = 2GM/r.

Gedurende de reis neemt de snelheid monotoon af als 1/( r^1/2).

Op r = R geldt de beginsnelheid v = V0, dus

R = 2GM/V0^2. (1)

Voor de Schwarzschildradius geldt:

Rs= 2GM/c^2. (2)

Vergelijk (1) en (2) dan is de conclusie dat je de Schwarzschildradius kunt interpreteren als de radius van een massa die nodig is om met de lichtsnelheid als beginsnelheid naar het oneindige te reizen zodat daar de snelheid precies nul wordt.

Ik hoop dat ik het een beetje goed heb uitgelegd.

PGB


#10

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 29 september 2013 - 17:51

Hier worden klassieke en relativistische mechanica dooreen gemengd. In de klassieke mechanica is de lichtsnelheid niet de maximale snelheid, omdat daarin geen maximale snelheid bestaat.

#11

pgbakker

    pgbakker


  • >25 berichten
  • 65 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 september 2013 - 18:17

Ik begrijp de waarschuwing .
Wel zie ik dat bij de totstandkoming van formule(1) de massa m er niet toe doet.
Dus ook als de massa verandert met de snelheid, wat relativistisch het geval is, blijft de vraag wat daarvan de invloed is.

#12

Michel Uphoff

    Michel Uphoff


  • >5k berichten
  • 5389 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 29 september 2013 - 23:47

Klassiek klopt die berekening, en de uitkomst zoals door jou beschreven is zelfs de definitie van de Newtoniaanse ontsnappingssnelheid. Maar relativistisch kan die uitkomst niet kloppen.

Voor massaloze fotonen heb ik in mijn reactie aangegeven hoe de vork in de steel zit, en iets met een massa - hoe gering dan ook - kan niet eens tot de lichtsnelheid worden versneld.

De massa kromt de ruimtetijd aan de waarnemingshorizon zo sterk, dat alle mogelijk paden van licht en materie inwaarts zijn, zodat het ontsnappen van wat dan ook (hawkingstraling uitgezonderd) volstrekt onmogelijk is.

En dan lijkt mij een Newtoniaanse definitie die eigenlijk stelt dat een massa aan de waarnemingshorizon wel degelijk kan ontsnappen en pas in het oneindige tot stilstand komt ,erg ongelukkig.
Motus inter corpora relativus tantum est.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures