Tegenvoorbeeld op belangrijke stelling?

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer

Bericht 03-10-'13, 13:35

De leek

Berichten: 126

Tegenvoorbeeld op belangrijke stelling?

Beste mensen, ik heb vorig jaar een cursus analyse gehad. Ik zat in de trein nog over iets na te denken van wat we toen hadden en uiteindelijk was er een bepaalde stelling die eruit sprong die opeens niet meer logisch leek. En volgens mij heb ik zelfs een tegenvoorbeeld.

Het gaat om lemma 2.30 die je hier kan vinden:

http://www.staff.science.uu.nl/~kouzn101/INLA/inlan2009.pdf

Ik begin nu ernstig te betwijfelen of a en c wel daadwerkelijk equivalent zijn. Stel f is continu en een functie van V->W(metrische ruimten) en stel dat S een gesloten deelverzameling is van W dan is f^(-1)(S) ook gesloten in V.

Maar als we nu even de functie van R->R bekijken met f(x) = -x^3+2x. Laten we deze functie bekijken op het interval ]-1.1,1.1[ wat duidelijk een open interval is.De functie heeft op dit interval echter een maxima en een minima in 2 interne punten. Na enig rekenwerk zie je duidelijk dat f(]-1.1,1.1[) = [-(4/3)^3,(4/3)^3] dat is namelijk het bereik van deze jongen, ofterwijl f^(-1)([-(4/3)^3,(4/3)^3]) = ]-1.1,1.1[ maar f is wel degelijk een continue functie.

IK heb hier een voorbeeld gegeven dat direct in strijd is met de gegeven stelling volgens mij, f is continu maar toch is er een gesloten verzameling die onder f^(-1) wel degelijk open is en dat tast de algemene geldigheid aan lijkt mij....

Zie ik hier iets over het hoofd of hoe zit dat?
Omhoog

Bericht 03-10-'13, 13:50

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: Tegenvoorbeeld op belangrijke stelling?

Wat is de inverse van
\(f(x) = -x^3 + 2 x\)
?
Omhoog

Bericht 03-10-'13, 13:51

Math-E-Mad-X

Gebruikersavatar
Berichten: 2.906

Re: Tegenvoorbeeld op belangrijke stelling?

De leek schreef: ↑do 03 okt 2013, 13:35
Na enig rekenwerk zie je duidelijk dat f(]-1.1,1.1[) = [-(4/3)^3,(4/3)^3]


Je toont hier aan dat er een open verzameling X is die wordt afgebeeld op een gesloten verzameling Y. Maar het feit dat f(X) = Y wil nog niet zeggen dat ook geldt f^-1(Y) = X
while(true){ Thread.sleep(60*1000/180); bang_bassdrum(); }
Omhoog

Bericht 03-10-'13, 14:26

De leek

Berichten: 126

Re: Tegenvoorbeeld op belangrijke stelling?

Math-E-Mad-X schreef: ↑do 03 okt 2013, 13:51
Je toont hier aan dat er een open verzameling X is die wordt afgebeeld op een gesloten verzameling Y. Maar het feit dat f(X) = Y wil nog niet zeggen dat ook geldt f^-1(Y) = X
Ohja bedankt, nu zie ik het ook haha. In dit geval is de afbeelding f^(-1)(Y) dus gewoon de grootste verzameling X die voldoet aan f(X) = Y. En die verzameling is dan wel weer gesloten ook in dit voorbeeld. Nu is het me wel duidelijk waar de fout zat.
EvilBro schreef: ↑do 03 okt 2013, 13:50
Wat is de inverse van
\(f(x) = -x^3 + 2 x\)
?
Ik zou niet direct een expliciete inverse weten, maar dat is hier ook niet echt relevant.
Omhoog

Bericht 03-10-'13, 15:05

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: Tegenvoorbeeld op belangrijke stelling?

Ik zou niet direct een expliciete inverse weten, maar dat is hier ook niet echt relevant.
De inverse bestaat niet op jouw bekeken interval. Dat is wel degelijk relevant.
Omhoog

Bericht 03-10-'13, 15:59

De leek

Berichten: 126

Re: Tegenvoorbeeld op belangrijke stelling?

EvilBro schreef: ↑do 03 okt 2013, 15:05
De inverse bestaat niet op jouw bekeken interval. Dat is wel degelijk relevant.


Dat is waar en daarom heb ik dat voorbeeld ook zo gekozen, de functie is inderdaad niet injectief op dat interval. Maar het ging over afbeelding van verzamelingen. In die context is f^(-1) wel gewoon gedefinieerd. f^(-1)(A) is dan simpelweg de verzameling getallen zo dat f(x) een element is van A. f^(-1)([0,1]) = [-1,1] als het om de functie f(x) = x^2 gaat, puur omdat elk element van [-1,1] afgebeeld wordt naar een element op [0,1]. Dus ook in het geval van een niet injectieve functie is de inverse afbeelding gedefinieerd, je zou hiermee zelfs kunnen zeggen dat f^(-1)({1}) = {-1,1} van de betreffende functie en f^(-1)({-1}) is dan de lege verzameling(of i als je complexe waarden mee laat doen).
Omhoog
Reageer

Terug naar “Analyse en Calculus”