Geneste afgeleide

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer
Berichten: 555

Geneste afgeleide

Hoi,

Ik weet niet of hier een betere titel voor bestaat. Verder kan dit misschien beter in het kwantummechanica subforum hoewel het in dit geval vooral een wiskunde probleem is voor mij(denk ik).

In Lagrangemechanica en de toepassing daarvan in kwantumveldentheorie komt volgende uitdrukking veelvuldig voor (1 dimensionaal in dit geval).

Ik heb een lagrange dichtheid gedefinieerd als
\(\mathcal{L} = \frac{1}{2}\left( \partial_\alpha\phi\partial^\alpha\phi-\mu^2\phi^2\right)\)
Hierbij is
\(\phi \equiv \phi (x, t)\)
een veld (fysisch bvb een magnetisch veld) dat zich 'braaf' gedraagt zoals meestal bij een probleem in de natuurkunde en
\(\partial_\alpha \equiv \frac{\partial}{\partial q^\alpha}\)
.

Nu zijn er geconjugeerde momenta (Hamilton formalisme) gedefineerd door
\(\pi(x)=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\phi}}\)
met
\(\dot{\phi}=\frac{d\phi}{d(ct)}\)
. (ct omdat er een relativistische theorie gebruikt wordt)

Nu komt eindelijk mijn probleem hoe kan ik dit in 's hemelsnaam oplossen voor de Lagrange dichtheid aan het begin van de post.

Ik vermoed dat ik iets (erg) triviaals over het hoofd zie maar ik kom er zelf niet uit.

De oplossing is trouwens
\(\pi(x)=\frac{1}{c^2}\dot{\phi}\)
.

Alvast bedankt,

Joris

Gebruikersavatar
Berichten: 2.906

Re: Geneste afgeleide

hint: welke waarden neemt alpha aan? Wat betekenen deze waardes?
while(true){ Thread.sleep(60*1000/180); bang_bassdrum(); }

Berichten: 555

Re: Geneste afgeleide

De alfa nemen waarden 0,...,3 aan.

In eerste instantie vond ik het min of meer lijken op een d'Alembertiaan. Maar na even controleren bleek dat een doodlopend pad te zijn.

Daarom heb ik het even volledig stap voor stap uitgeschreven voor de tijdscomponent.

Als er in het onderstaande geen fouten staan, ben ik er uit geraakt.
\(\partial_0\phi\partial^0\phi = \partial_0(\frac{\phi \dot{\phi}}{c})\)
De productregel geeft
\(\partial_0(\frac{\phi \dot{\phi}}{c})=\frac{\dot{\phi}\dot{\phi}+\phi\ddot{\phi}}{c^2}\)
Bedankt voor het duwtje

Joris

Gebruikersavatar
Berichten: 2.906

Re: Geneste afgeleide

Zo te zien interpreteer jij de uitdrukking
\(\partial_0\phi\partial^0\phi\)


als:
\(\partial_0(\phi \cdot \partial^0\phi)\)


Maar volgens mij moet dat zijn (ik zou me kunnen vergissen):
\((\partial_0\phi) \cdot (\partial^0\phi)\)


Al maakt dat voor het uiteindelijke resultaat niet zoveel uit.
while(true){ Thread.sleep(60*1000/180); bang_bassdrum(); }

Berichten: 555

Re: Geneste afgeleide

Het is dus gewoon een product van de 2 afgeleiden apart? Want ik interpreteer de uitdrukking inderdaad zoals jij onderstelde.

Nu ik er iets verder over na denk moet het inderdaad op die manier gelden aangezien dit een inproduct van 2 viervectoren lijkt voor te stellen.

Hartelijk bedankt.

Reageer