Springen naar inhoud

Complexe wortels van veeltermvergelijking



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Flisk

    Flisk


  • >1k berichten
  • 1270 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 11 oktober 2013 - 15:05

Hallo.
Ik zit met een veeltermvergelijking, met onbekende n:
(z+2)^n + (4-z)^n = 0

En vroeg mij af hoe je te werk gaat in het vinden van wortels.
Heb geen idee hoe hieraan te beginnen.
Alvast bedankt.
Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 11 oktober 2013 - 15:25

Je kan je verg schrijven als een breuk tot de macht n =...

LaTeX

Veranderd door Safe, 11 oktober 2013 - 15:26


#3

tempelier

    tempelier


  • >1k berichten
  • 1765 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 oktober 2013 - 15:26

Het lijkt me in zijn algemeenheid niet te kunnen.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

#4

Flisk

    Flisk


  • >1k berichten
  • 1270 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 11 oktober 2013 - 15:58

Dat is gelijk aan -1
Dan heb ik uitgewerkt voor z=a+bi maar hier krijg je dan een gigantisch complex getal ifv a en b tot de macht n.
In principe kun je deze macht uitwerken naar -1 maar dit lijkt mij niet de goeie methode.
Deze vraag komt uit een voorbeeld examen van vorig jaar. Dus het is wel mogelijk.
Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.

#5

tempelier

    tempelier


  • >1k berichten
  • 1765 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 oktober 2013 - 16:06

Ik was misschien wat voorbarig.

Het zo dat LaTeX op de eenheidscirkel moet liggen.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

#6

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 11 oktober 2013 - 16:13

Dat is gelijk aan -1
Dan heb ik uitgewerkt voor z=a+bi maar hier krijg je dan een gigantisch complex getal ifv a en b tot de macht n.
In principe kun je deze macht uitwerken naar -1 maar dit lijkt mij niet de goeie methode.
Deze vraag komt uit een voorbeeld examen van vorig jaar. Dus het is wel mogelijk.


Je kan je afvragen welke waarde de breuk moet hebben om tot de n-de macht -1 op te leveren. Hierbij nemen we aan dat n een natuurlijk getal is. Het is niet moeilijk na te gaan wat de breuk moet zijn bij n oneven. Bij n is even moet je oppassen ...

#7

Flisk

    Flisk


  • >1k berichten
  • 1270 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 11 oktober 2013 - 16:26

Bij n is oneven moet de breuk ook gelijk zijn aan -1
Dan krijg je:
z+2=z-4 dus 2=4
Kun je hier uit dan uit besluiten dat er geen oplossingen zijn voor n= oneven?

Al een merci voor de antwoorden.

Veranderd door Flisk, 11 oktober 2013 - 16:27

Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.

#8

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 11 oktober 2013 - 16:45

Bij n is oneven moet de breuk ook gelijk zijn aan -1
Dan krijg je:
z+2=z-4 dus 2=4
Kun je hier uit dan uit besluiten dat er geen oplossingen zijn voor n= oneven?


Dit is goed, nu n is even ...

#9

tempelier

    tempelier


  • >1k berichten
  • 1765 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 oktober 2013 - 16:45

LaTeX heeft echter drie verschillende oplossingen.

Dus de breuk hoeft niet perse -1 te zijn.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

#10

Flisk

    Flisk


  • >1k berichten
  • 1270 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 11 oktober 2013 - 16:53

LaTeX

heeft echter drie verschillende oplossingen.

Dus de breuk hoeft niet perse -1 te zijn.


Inderdaad, er zijn altijd n verschillende oplossingen.
Op het forum van mijn school hebben ze zojuist volgende oplossingsmethode voorgesteld:

Schrijf de vergelijking als een machtsvergelijking. Dan kan je wortels van deze machtsvergelijking expliciet bepalen met behulp van de formule voor de n n-de-machtswortels uit een complex getal. Vervolgens kan je daaruit de wortels van de originele vergelijking vinden.

Dus (z+2)/(4-z) substitueren en na het vinden van de wortels opnieuw substitueren.
Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.

#11

tempelier

    tempelier


  • >1k berichten
  • 1765 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 oktober 2013 - 17:05

Ik begrijp miet precies wat je bedoeld.

Willen jullie de vorm uit vermenigvuldigen met het binomium van Newton?

PS:
met de substitutie z=w+4 kun je de vorm wat vereenvoudigen.

Veranderd door tempelier, 11 oktober 2013 - 17:05

In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

#12

Flisk

    Flisk


  • >1k berichten
  • 1270 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 11 oktober 2013 - 17:18

de vraag was: los de gegeven vergelijking (zoals in post 1 te zien is) op en geef de wortels in de vorm a+bi.

Ik bedoel:
-(z+2)/(4-z) substitueren met w.
-w zoeken als nde wortel van -1
-dit resultaat gelijkstellen aan (z+2)/(4-z) en hieruit z vinden.

Door wat tijdsgebrek probeer ik dit later eens.
Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.

#13

tempelier

    tempelier


  • >1k berichten
  • 1765 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 oktober 2013 - 17:37

Die kun je uitschrijven met de Stelling van de Moivre maar dat substitueren in zijn algemeenheid lijkt me lastig.


PS.

Via een andere methode vond ik dat z=1 de enige oplossing zou zijn.
Daar moet een fout in zitten lijkt me.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

#14

tempelier

    tempelier


  • >1k berichten
  • 1765 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 oktober 2013 - 17:53

Dat was in ieder geval fout lijkt er nu op dat de gedaante van de oplossing moet zijn z=1+bi.

Misschien kan iemand dat even narekenen.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

#15

Flisk

    Flisk


  • >1k berichten
  • 1270 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 12 oktober 2013 - 10:36

Dit heb ik al:
Stel (z+2)/(4-z) = de nde machtswortel uit -1 = y dus (4-z)y=z+2

en y = e^(-ipi+k2ipi)^(1/n) waarbij k een geheel getal is.
Hoe het nu verder moet ben ik niet zeker. Alvast aan het proberen uitwerken.

Veranderd door Flisk, 12 oktober 2013 - 10:42

Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures