Partiële integratie, 1e jaar universiteit

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer

Bericht 12-10-'13, 20:17

Jjooz

Gebruikersavatar
Berichten: 17

Parti

ik wil graag de volgende functie integreren met partiele integratie, met wortels, sinussen en natuurlijke logaritmes:

sqrt(x2+a2)

Ik ben alleen nog niet heel zeker van of ik dit wel goed onder de knie heb. Op de een of andere manier blijf ik steken op 2 formules achter het integraalteken waardoor er elke keer het zelfde uitkomt.

Ik heb een foto gemaakt:

https://scontent-b-a...fca&oe=525B84D7

of ik kom uit op ln(x+sqrt(x2+a2))*2xdx achter het integraalteken, of er komt x2dx/sqrt(x2+a2) achter het integraalteken te staan. Ik vermoed dat dit komt doordat ik verkeerde waarden neem voor u en dv.

Ik heb geprobeerd het zo netjes mogelijk op te schrijven zodat het een beetje begrijpelijk is. Die cijfers ervoor is om aan te geven welke waarden die aan de zijkant staan ik heb gebruikt voor u en dv. Zou iemand mij misschien kunnen helpen met wat ik fout doe?
Omhoog

Bericht 12-10-'13, 20:27

aadkr

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.590

Re: Parti

bedoel je de volgende integraal:
\(\int \sqrt{x^2+a^2)} \cdot dx \)
Omhoog

Bericht 12-10-'13, 20:36

Jjooz

Gebruikersavatar
Berichten: 17

Re: Parti

Ja, dat klopt. Ik heb me vandaag aangemeld en ik weet nog niet hoe je die formules maakt. Excuses hiervoor. Vandaar dat ik ook een linkje heb geplaatst naar mijn uitwerking op papier (al vond mijn klasgenoot dit niet erg duidelijk)
Omhoog

Bericht 12-10-'13, 21:53

JorisL

Berichten: 555

Re: Parti

In je uitwerking stel je dat
\(\int x\sqrt{x^2+a^2}dx = x\sqrt{x^2+a^2}-\int\frac{x^2}{x\sqrt{x^2+a^2}}dx\)


Waarom heb je daar een
\(x^2\)
in de teller staan? Want daar zit je fout.

Met die hint, zou je er dan wel geraken?
Omhoog

Bericht 12-10-'13, 22:19

Jjooz

Gebruikersavatar
Berichten: 17

Re: Parti

Omdat
\(\int udv = uv - \int vdu\)
heb ik genomen voor
\( u = \sqrt{x^2+a^2} \)
dan geldt dat
\( du = x/ \sqrt{x^2+a^2}dx \)
en dv is dan in dit geval gelijk aan dx dus v*du wordt dan
\( x* x / \sqrt{x^2+a^2} = x^2 / \sqrt{x^2+a^2} \)
maar ik weet niet of dit zo klopt. Zo kom ik aan de x2.

Bedankt voor de reactie.[/size]
Omhoog

Bericht 12-10-'13, 22:46

tempelier

Gebruikersavatar
Berichten: 4.320

Re: Parti

Volgens mij is je eerste regel wel goed.

Als je nu van de Teller maakt:
\( x^2 = x^2 +a^2 - a^2 \)
En de breuk een beetje handig splitst dan ben je er.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.
Omhoog

Bericht 14-10-'13, 19:20

JorisL

Berichten: 555

Re: Parti

Oeps, niet aan de kettingregel gedacht. Mijn excuses daarvoor.
Omhoog

Bericht 21-10-'13, 18:24

Jjooz

Gebruikersavatar
Berichten: 17

Re: Parti

Yes, dat trucje was ik vergeten! Bedankt, Tempelier!
Omhoog

Bericht 21-10-'13, 18:51

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Parti

En hoe ga je verder ...
Omhoog

Bericht 08-11-'13, 15:42

Flisk

Gebruikersavatar
Berichten: 1.264

Re: Parti

tempelier schreef: ↑za 12 okt 2013, 22:46
Volgens mij is je eerste regel wel goed.

Als je nu van de Teller maakt:
\( x^2 = x^2 +a^2 - a^2 \)
En de breuk een beetje handig splitst dan ben je er.
Bij deze:
\(\int\frac{x^2}{x\sqrt{x^2+a^2}}dx\)
Is het niet veel gemakkelijker om volgende substitutie te doen?
\(u = x^2 -a^2\)
En daarna
\(t = \sqrt{u}\)
Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.
Omhoog

Bericht 08-11-'13, 17:11

tempelier

Gebruikersavatar
Berichten: 4.320

Re: Parti

Flisk schreef: ↑vr 08 nov 2013, 15:42
Bij deze:
\(\int\frac{x^2}{x\sqrt{x^2+a^2}}dx\)
Is het niet veel gemakkelijker om volgende substitutie te doen?
\(u = x^2 -a^2\)
En daarna
\(t = \sqrt{u}\)
Ik denk dat dat niet de bedoeling was, maar dat het met partiële integratie op standaard vormen moest worden teruggebracht zonder substitutie dus.

Anders kan men aan het begin beter gelijk een (standaard) substitutie toepassen.

Als je toch splitsen wilt vermijden dan zou ik in een keer de substitutie
\(x= a \sinh t \)
gebruiken en niet in twee stappen werken, maar een ieder heeft hier zijn eigen voorkeuren natuurlijk.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.
Omhoog

Bericht 08-11-'13, 17:56

Flisk

Gebruikersavatar
Berichten: 1.264

Re: Parti

Inderdaad iedereen heeft zijn voorkeuren. Die laatste substitutie
\(t = \sqrt{u}\)
was niet echt nodig. Want je krijgt na de eerste:
\(\frac{1}{2}\int{\frac{du}{\sqrt{u}}}\)
Wat uiteraard direct kan geprimitiveerd worden.
Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.
Omhoog
Reageer

Terug naar “Analyse en Calculus”