Verschillende uitkomsten binnen in de Speciale Relativiteit?

ruud_a

De Klingons bevinden zich op 6 lichtminuten van de Aarde. Ze gaan een meteoriet op tijdstip T met 0,6 keer de lichtsnelheid richting Aarde sturen in een poging alle leven daar met een vreselijke botsing te vernietigen.

Gelukkig weten de Aardse strijdkrachten dat en ze zijn van plan gedurende enkele seconden alle energie die er beschikbaar is te benutten om op 9 minuten en 59 seconden, een seconde dus voor de inslag een afbuigend schild te activeren.

De Klingons weten van dit schild, maar zij maken zich er niet druk om. Zij redeneren namelijk dat voor een waarnemer op de meteoriet bij een snelheidsverschil van 0,6c de tijd op Aarde een stuk trager verloopt, en dus het schild te laat zal worden geactiveerd.

Overleeft de Aarde deze aanval, of niet? Wie heeft er gelijk, de Klingons of de mens?

Michel Uphoff

De Klingons moeten fouten maken met hun gedachtegang dat als voor hun de tijd op Aarde trager verloopt de Aarde het schild daardoor te laat activeert.

Laten we het eens stapje voor stapje beredeneren in plaats van direct met formules aan te komen. Dat kost wel wat woorden maar het geeft hopelijk meer inzicht.

In de extra's onderin aanvullende informatie. Kijk naar de formules, ze zijn erg eenvoudig en stapsgewijs uitgewerkt.

Gezien vanaf de Aarde: Men ziet de meteoriet die grens van 6 lichminuten passeren (ruwweg 108 miljoen km verderop). Omdat het licht 6 minuten over de afstand gedaan heeft ligt tijdstip T van die passage 6 minuten in het verleden. 10 minuten na T moet het schild opgetrokken worden. (Dat is dus 4 minuten na de waarneming.)

Gezien vanuit het rustframe meteoriet. Om wat eenvoudiger te kunnen meten nemen we aan dat vanaf de Aarde op de slag van iedere minuut een lichtpuls richting die meteoriet wordt verzonden. Op die meteoriet is een Klingon die waarnemingen doet.

Gezien vanaf de meteoriet met toepassing van alleen het klassieke Dopplereffect:

Iedere minuut neemt de afstand tussen de meteoriet en de Aarde af. De lichtpuls van de Aarde bereikt de meteoriet met een snelheid van 300.000 km/s, terwijl de afstand met 180.000 km/s afneemt. Iedere puls vanaf de aarde heeft dus 0,6 minuut minder reistijd dan de voorgaande nodig, zodat de meteoriet iedere 0,4 minuten een puls van Aarde ontvangt.

De Klingon op de meteoriet ziet de klok van de Aarde dus door dit klassieke effect 1/0,4 = 2,5 keer zo snel lopen. Er is sprake van negatieve tijdrek, tijdcompressie dus. Zie ook de formule (*1)

Gezien vanaf de meteoriet met toepassing van het klassieke Dopplereffect en de correctie daarop agv de relativistische tijdrek:

De tijdrekfactor gamma is bij 0,6c gelijk aan 1,25. Zie ook de formule (*2). De Klingon op de meteoriet ziet de pulsen (de tijd) van de Aarde door dit effect 1,25 keer zo traag aankomen. De totale tijddilatatie bestaat dus uit twee componenten; tijdcompressie door het klassieke Dopplereffect met een factor 2,5 (bij naderen) en de tijdrek factor 1,25 door relativistische effecten. In totaal loopt de tijd op Aarde gezien vanaf de meteoriet 2,5/1,25 = 2 keer zo snel. Zie ook de formule (*3).

De gegevens op een rijtje:

Afstand op tijdstip T: 6 lichtminuten
Snelheid nadering aarde-meteoriet: 0,6c
Gammafactor :1,25
Totale tijddilatatie: 2 keer sneller
De waargenomen afstand wordt door de gammafactor 1/1,25 = 0,8 maal de oorspronkelijke afstand.

Die kamikaze-Klingon op de meteoriet ziet op tijdstip T, het moment dat de meteoriet op 108 miljoen kilometer van de Aarde is, de klok op Aarde. Hij zal constateren:

Omdat het licht vanaf de Aarde 6 minuten over de reis heeft gedaan ziet hij de klok op Aarde 6 minuten achterlopen, die klok wijst dus 6 minuten vóór T aan.
Omdat het snelheidsverschil 0,6 c is, is er sprake van lengtecontractie. Alle afstanden zijn 0,8 keer zo groot geworden. De afstand tot de Aarde is voor de Klingon dus 6 * 0,8 = 4,8 lichtminuten.
Over de reis naar de Aarde doet de meteoriet volgens de klok van de Klingon dus 4,8/0,6 = 8 minuten
Gedurende die reis van 8 minuten volgens de klok van de Klingon loopt de klok op Aarde door de tijddilatatie 2 keer zo snel, en dus is de klok op Aarde bij aankomst 16 minuten verder.
Die klok op Aarde stond voor de Klingon bij tijdstip T op 6 minuten voor T, en bij aankomst bij de Aarde staat de aardse klok dus ook voor hem op 10 minuten na T.

Een seconde daarvoor activeerde de Aarde haar schild en de meteoriet met de Klingon kaatst de ruimte in. De Aarde overleeft de aanval, en de Klingons moeten hun kennis van de relativiteit wat bijschaven.

De uitkomsten blijken dus niet te verschillen. Binnen de SRT kunnen verschillende waarnemers het oneens zijn over de snelheid van klokken en de lengte van afstanden, maar niet over feitelijke gebeurtenissen.

formules:

(*1)[/size][/color] De formule voor het klassieke Dopplereffect bij nadering is stapsgewijs uitgewerkt:

fw=waargenomen frequentie, fb=bronfrequentie. De lichtsnelheid en bronfrequentie stellen we beiden op 1:

\(f_w = f_b *\frac{v}{v-vb}= 1 * \frac{1}{1-0,6}= 1 * \frac{1}{0,4}\mathbf{= 2,5}\)

Iedere minuut bij de bron verloopt voor de waarnemer dus 2,5 keer zo snel. Er wordt wel eens gedacht dat de tijd bij de bron in werkelijkheid 2,5 keer zo snel loopt, maar dat is onzin. Ze wordt alleen 2,5 keer zo snel ervaren door de naderende partij. Denk maar aan de bekende politiesirene; bij nadering is de frequentie, en dus de toon hoorbaar hoger. Maar de sirene in de politieauto draait natuurlijk niet werkelijk 2,5 keer zo snel rond (als het nog zo'n ouderwets roterend ding zou zijn). Dezelfde auto verwijdert zich immers op hetzelfde moment van een andere luisteraar, die een lagere toon waarneemt. In dit geval lijkt de Aarde voor de Klingon ook twee keer zo snel om haar as te draaien, maar op Aarde zelf is er natuurlijk niets bijzonders aan de hand. Een voorbeeld van klassieke relativiteit, de waarneming is afhankelijk van de waarnemer. Merk op, dat er bij verwijdering van de bron een verlaging van de frequentie tijdrek en bij naderen tijdcompressie optreedt.

Verder heeft het klassieke Dopplereffect natuurlijk een medium (lucht) nodig voor de voortplanting van de geluidsgolven. Maar ook bij licht werkt het principe volgens dezelfde formule. Zie hier voor meer informatie.

(*2) [/size][/color]De gammafactor voor relativistische tijdrek en lengtekrimp stap voor stap uitgerekend. v = 180.000 km/s = 0.6c

\(\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}= \frac{1}{\sqrt{1-\frac{0,6^2}{1^2}}}= \frac{1}{\sqrt{1-\frac{0,36}{1}}}= \frac{1}{\sqrt{1-0,36}}= \frac{1}{\sqrt{0,64}}= \frac{1}{0,8}\mathbf {= 1,25}\)

NB: De afleiding van deze formule valt buiten het bestek van eenvoudige wiskunde. Zie deze minikursus klik voor meer achtergrondinformatie. Merk op dat een negatieve snelheid weggekwadrateerd wordt en dat de relativistische tijdrek en lengtekrimp dus onafhankelijk zijn van naderen of verwijderen.

(*3)[/size][/color] Deze redenering gaan we controleren met de formule voor het relativistisch Dopplereffect. Omdat in dit geval de meteoriet en de Aarde elkaar naderen is de snelheid -0,6c

\(T_r = \sqrt{\frac{c+v}{c-v}} = \sqrt{\frac{c+-0,6}{c--0,6}} = \sqrt{\frac{0,4}{1,6}} = \sqrt{0,25}\mathbf{ = 0,5}\)

ruud_a

Dat is een flinke lap redenatie, die ik eerst eens goed moet lezen en waar ik eerst eens goed over moet denken voor ik hier op reageer.

Anders komen we weer in een eindeloos lange discussie terecht.

U hebt me door het toevoegen van het Doppler effect even uit evenwicht gehaald.

In artikel #27 t/m #30 van onze vorige discussie hebben we het gehad over waarneming in de ruimtetijd die ogenblikkelijk was.

Mijn redeneringen zijn daarop gebouwd.

Ik die redeneringen dus in overeenstemming moeten zien te brengen met deze redenatie.

Wat me op dit moment na een eerste doorlezen in ieder geval dwars zit is het stukje over lengtecontractie.

De beide referentiekaders [aarde en meteoriet] zijn gelijkwaardig.

Dat het referentiekader van de aarde bijna gelijk is aan een een soort gemiddelde snelheid in het heelal en de meteoriet ten opzichte van dat heelal met 0,6C beweegt speelt geen rol.

Ten opzichte van elkaar wordt aan beiden een snelheid van 0,3C toegekend in de SRT.

Op het moment dat de aarde de meteoriet ziet staan op een afstand van 6 lichtminuten [dit hebben we gesteld], moet de meteoriet de aarde ook zien staan op een afstand van 6 lichtminuten.

Hoe je ,je dit voor moet stellen, aangezien je bij die snelheid ten opzichte van het heelal, het hele heelal vervormd ziet is me echter niet duidelijk.

EvilBro

Waarom blijf je deze vruchteloze weg bewandelen? Je kan scenario's verzinnen tot je een ons weegt, maar als je geen kennis wilt nemen van de theorie dan heeft dit alles geen zin.

Op het moment dat de aarde de meteoriet ziet staan op een afstand van 6 lichtminuten [dit hebben we gesteld], moet de meteoriet de aarde ook zien staan op een afstand van 6 lichtminuten.

En dan nu aan jou de vraag: Is dit wat SRT voorspelt? Een oefening die je kan helpen bij het vinden van een antwoord: Stel dat in inertiaalstelsel S een object zich bevindt op x = 6 lichtminuten en op tijdstip t=0. Bereken nu waar dit object zich bevindt in inertiaalstelsel T dat met een snelheid v (= 0.6*c) beweegt ten opzichte van S. De benodigde formules:

\(x' = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \left(x - v \cdot t \right)\)

\(t' = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \left(t - \frac{v \cdot x}{c^2} \right)\)

Als je nu weigert deze simpele berekening te doen dan toon je aan dat je helemaal geen interesse hebt om dit te begrijpen. Als je de simpele berekening niet kan doen dan moeten we misschien tot de conclusie komen dat je, in ieder geval op dit moment, de bekwaamheid mist om dit te snappen.

Th.B

Post #3:

'Aan beiden wordt ten opzichte van elkaar een snelheid van 0,3c toegekend'.

Nee. Ten opzichte van elkaar bewegen ze met een snelheid van 0,6 c. Voor een ander inertiaalstelsel dat met een snelheid van 0,3 c de aarde nadert, bewegen meteoriet en aarde naar elkaar toe met beiden een snelheid van 0,3c maar uiteraard in tegengestelde richting.

Zoals al gezegd door EvilBro zijn er wel meer dingen uit je posts die geen hout snijden. Ik bewonder het geduld en de helderheid van Michel Uphoff.

Michel Uphoff

Ten opzichte van elkaar wordt aan beiden een snelheid van 0,3C toegekend in de SRT

Dat is niet correct. Als we meereizen met de meteoriet, heeft deze ten opzichte van ons een snelheid 0, en de Aarde 0,6c. Reizen we mee met de Aarde, dan heeft deze een snelheid 0 en de meteoriet 0,6c.

Natuurlijk is het mogelijk een externe waarnemer met 0,3c vanaf de locatie van de meteoriet richting Aarde te laten bewegen. Als we vanuit het rustframe van die nieuwe waarnemer kijken, ziet hij de Aarde met 0,3c naar zich toe komen en de meteoriet met 0,3c van zich af gaan.

Die extra waarnemer is niet nodig en maakt het rekenen alleen maar lastiger. Maar alles om uit te rekenen hoe dat door zo'n extra waarnemer wordt gezien is in mijn antwoord gegeven, het vereist alleen wat strakke logica en consequent de eenvoudige formules uitwerken. Je zal zien dat ook voor die waarnemer (en voor iedere denkbare waarnemer) de uitkomst hetzelfde is.

Maar zinniger, want eenvoudiger, is het om het geheel te beschouwen vanuit een waarnemer op Aarde. Zoals in een ander topic al omstandig is uitgelegd, is er altijd sprake van symmetrie. Dus zouden de uitkomsten die ik vanuit het frame Klingon berekend heb ook op moeten gaan voor de Aarde. Probeer dat zelf eens door te werken.

Je zal zien, de uitkomst is onvermijdelijk:

Binnen de SRT kunnen verschillende waarnemers het oneens zijn over de snelheid van klokken en de lengte van afstanden, maar niet over feitelijke gebeurtenissen.

ruud_a

EvilBro schreef: ↑do 17 okt 2013, 08:16
En dan nu aan jou de vraag: Is dit wat SRT voorspelt?

Volgens mijn tekst klopt wat ik zeg.

Ik heb echter een verkeerde intepretatie gedaan van de tekst.

De orginele tekst luidt:

De Klingons bevinden zich op 6 lichtminuten van de Aarde.

Ik heb dit echter vertaald als:

De aardbewoners ZIEN de meteoriet op 6 lichtminuten van de aarde staan.

Er van uit gaande, dat wij iets dat op 6 lichtminuten van ons af staat wij ook zullen zien als een afstand van 6 lichtminuten.

Op zich geen verbazende fout voor iemand die in een wereld met lage snelheden woont, maar wel fout.

Het zou wel waar zijn als de meteoriet een lage snelheid had ten opzichte van ons, maar niet nu deze een snelheid heeft van 0,6C.

Dat brengt onze waarneming van de Klingons dan weer in overeenstemming met de waarneming door de klingons van ons.

Wij moeten de meteoriet dus op 4,8 lichtminuten afstand zien staan, net als de klingons de aarde op 4,8 lichtminuten zien staan.

Ik heb een tabelletje gemaakt voor een aantal tijdstippen voor de lengtekrimp.x'

Daarvoor heb ik de lichtminuten omgezet in lichtseconden, omdat anders de eenheden niet kloppen.

wat ik dan precies met t' aan moet is me niet duidelijk volgens mij heb ik het antwoord al met x'.

Misschien is dat voor een vervolgvraag, of heb ik het helemaal mis?

x(lichtsec)	v/c	t(sec)	gamma	x'	eenheid
x'	360	0	1,25	288,00	lichtseconden
x'	360	1	1,25	287,52	lichtseconden
x'	360	2	1,25	287,04	lichtseconden
x'	360	3	1,25	286,56	lichtseconden
x'	360	4	1,25	286,08	lichtseconden
x'	360	5	1,25	285,60	lichtseconden
x'	360	60	1,25	259,20	lichtseconden
x'	360	300	1,25	144,00	lichtseconden
x'	360	600	1,25	0,00	lichtseconden

Ik ben overigens bang dat ik langzaam, maar zeker mijn ongelijk zal moeten gaan toegeven, omdat ik bij al mijn redeneringen het Doppler effect buiten beschouwing heb gelaten, en alleen ben uit gegaan van de relativistische waarnemingen.

Het begint er sterk op te lijken dat dit niet terecht was.

Maar mocht ik nog goede argumenten vinden,zal ik het zeker niet laten om de moderators van dit forum het leven zuur te maken.

ruud_a

Beste Michel Uphoff, ik geef mijn strijd op, want ik heb ondertussen ingezien dat mijn aanname de mist in ging, omdat ik geen rekening heb gehouden met het Doppler effect.

Ik ben dat Doppler effect ergens in de discussie kwijt geraakt en ben er stug van blijven uitgaan dat de waarneming die gedaan wordt uitsluitend de relativistische waarneming was.

Ik wil u en ook de anderen bedanken voor het geduld dat u met mij hebt gehad.

Ik ben wel een erg trage leerling geweest.

EvilBro

Ik ben overigens bang dat ik langzaam, maar zeker mijn ongelijk zal moeten gaan toegeven, omdat ik bij al mijn redeneringen het Doppler effect buiten beschouwing heb gelaten, en alleen ben uit gegaan van de relativistische waarnemingen.

Het feit dat je denkt dat het Dopplereffect, of beter het negeren daarvan, aan de basis ligt van jouw misvattingen demonstreert maar eens te meer hoe weinig je weet van hetgeen waar je over spreekt. Ik zie ook dat je de gevraagde berekening uit dit bericht niet doet. Eigenlijk dus geen interesse om uit te vinden hoe het werkelijk werkt?

ruud_a

EvilBro schreef: ↑vr 18 okt 2013, 11:15
Het feit dat je denkt dat het Dopplereffect, of beter het negeren daarvan, aan de basis ligt van jouw misvattingen demonstreert maar eens te meer hoe weinig je weet van hetgeen waar je over spreekt. Ik zie ook dat je de gevraagde berekening uit dit bericht niet doet. Eigenlijk dus geen interesse om uit te vinden hoe het werkelijk werkt?

Misschien hebt u wel gelijk, en denk ik alleen maar dat ik dat ik sommige dingen begrijp.

Voor u lijkt dat een misdaad te zijn, maar Ik zal me er geen minder mens door voelen.

Als u na de eerste regel nog wat had doorgelezen, was u een tabelletje tegengekomen, waarin ik x' heb uitgerekend voor een aantal waardes.

Naar mijn mening is x' de gevraagde afstand.

U had dan ook gelezen dat ik wat in verwarring ben wat u precies verwacht dat ik uitreken.

In het bijzonder de formule bij t', omdat ik daar het verband met de gevraagde afstand niet meer zie.

U hebt ook niet gedefinieerd wat die variabelen x' en t' voorstellen.

Michel Uphoff

EvilBro schreef: ↑do 17 okt 2013, 08:16
\(x' = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \left(x - v \cdot t \right)\)

Dit moet m.i.

\(x' = {\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} \left(x - v \cdot t \right)\)

zijn.

Het eerste deel moet lengtecontractie opleveren ipv tijddilatatie, dus 0,8 ipv 1,25 bij 0,6c.

x' bij t₀ is dan 4,8 lichtminuten, conform het voorbeeld.

Th.B

Het is geen misdaad om dingen niet te begrijpen, maar ik hoop dat je dan op de koop toe neemt dat als je vragen stelt over dingen waar je geen inhoudelijke kennis van hebt, je het antwoord waarschijnlijk maar moeilijk kunt bevatten.

Als je niet weet wat x' en t' voorstellen, heb je waarschijnlijk nog nooit de formules gezien die bij deze theorie horen. EvilBro schrijft het er dan weliswaar niet bij, maar zoiets heet algemene notatie. Als jij opschrijft

F = m a

vraag ik ook niet wat je met F, m en a bedoelt.

EvilBro

U had dan ook gelezen dat ik wat in verwarring ben wat u precies verwacht dat ik uitreken.

Ik heb je een x, een t en een v gegeven en twee formules. Het enige wat je hoeft te doen is invullen. Hier komt geen tabel uit. Slechts een x' en een t'. Dit zijn de coordinaten van punt (x,t) in stelsel T. De reden dat je zowel t' als x' moet uitrekenen is zodat je kan inzien dat zowel de plek als het tijdstip anders zullen zijn in het andere stelsel.

Dit moet m.i.
\(x' = {\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} \left(x - v \cdot t \right)\)
zijn.

Die formule klopt niet. Voordat je dat gaat verdedigen: zie bijvoorbeeld wiki

Michel Uphoff

\(x' = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \left(x - v \cdot t \right)\)

Levert voor t=0 en x=6 (minuten) voor x' 7,2 minuten ipv 4,8 op.

De lengtecontractie is gelijk aan

\(\frac{1}{\gamma}\)

dus ik zie niet wat ik hier verkeerd zou doen.

Hoe verklaar jij de uitkomst van jouw formule?

ruud_a

Th.B schreef: ↑vr 18 okt 2013, 16:40
Het is geen misdaad om dingen niet te begrijpen, maar ik hoop dat je dan op de koop toe neemt dat als je vragen stelt over dingen waar je geen inhoudelijke kennis van hebt, je het antwoord waarschijnlijk maar moeilijk kunt bevatten.

Hoewel mijn geheugen wat achteruit gaat, blijft het bevatten in zijn algemeenheid nog wel lukken.

U moet wel begrijpen dat het een lastig onderwerp is met veel valkuilen.

Ik heb ook weinig ervaring met de relativiteitstheorie.

Vandaar dat ik met die afstand van 6 lichtminuten de mist in ging.

Ik ging domweg uit van mijn alledaagse waarneming die zegt als iets 10 km bij mij vandaan staat zie ik het ook op 10 km afstand.

Toch viel het muntje op een gegeven moment, dat dit niet waar is bij relatieve snelheden.

Th.B schreef: ↑vr 18 okt 2013, 16:40
Als je niet weet wat x' en t' voorstellen, heb je waarschijnlijk nog nooit de formules gezien die bij deze theorie horen. EvilBro schrijft het er dan weliswaar niet bij, maar zoiets heet algemene notatie. Als jij opschrijft

F = m a

vraag ik ook niet wat je met F, m en a bedoelt.

Ik heb de formules ooit wel gezien, maar de relativiteit is toen heel erg vluchtig behandeld, omdat het dat jaar geen landelijk examenvak was.

Bovendien is dat al zo'n kleine 40 jaar terug

In die 40 jaar is het meeste van wat ik ooit heb geleerd aan wiskunde nooit meer gebruikt en verdwenen, of op zijn minst heel erg roestig geworden.

Het werken met die formules is dus wat lastig voor me.

Ik moet daar gewoon weer aan wennen.

Verder was de vraag niet geheel duidelijk omdat om een plaats werd gevraagd op t = 0.

Dat heb ik geintepreteerd als x' en het antwoord daarop staat gewoon op de eerste regel van de tabel.

Wat vervolgens de bedoeling was van de tweede formule ontging me enigzins.

Maar die zal ik straks nog uitrekenen.

Ik heb overigens niet de beschikking over al die mooie wiskunde tekens als wortels, vandaar dat er alleen maar getallen zullen komen..

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Verschillende uitkomsten binnen in de Speciale Relativiteit?

Verschillende uitkomsten binnen in de Speciale Relativiteit?

Re: Verschillende uitkomsten binnen in de Speciale Relativiteit?

Re: Verschillende uitkomsten binnen in de Speciale Relativiteit?

Re: Verschillende uitkomsten binnen in de Speciale Relativiteit?

Re: Verschillende uitkomsten binnen in de Speciale Relativiteit?

Re: Verschillende uitkomsten binnen in de Speciale Relativiteit?

Re: Verschillende uitkomsten binnen in de Speciale Relativiteit?

Re: Verschillende uitkomsten binnen in de Speciale Relativiteit?

Re: Verschillende uitkomsten binnen in de Speciale Relativiteit?

Re: Verschillende uitkomsten binnen in de Speciale Relativiteit?

Re: Verschillende uitkomsten binnen in de Speciale Relativiteit?

Re: Verschillende uitkomsten binnen in de Speciale Relativiteit?

Re: Verschillende uitkomsten binnen in de Speciale Relativiteit?

Re: Verschillende uitkomsten binnen in de Speciale Relativiteit?

Re: Verschillende uitkomsten binnen in de Speciale Relativiteit?