[wiskunde] Scheiden van variabelen 1e graad, 1e orde DV

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Berichten: 10

Scheiden van variabelen 1e graad, 1e orde DV

\( \int \frac{dy}{y^{3}} = \int \frac{dx}{4+x} \)
met y ≠ 0; x ≠ -4
\( - \frac{1}{2y^2} = ln|C(4+x)| \)
\( x = D*e^{-\frac{1}{2y^2}}-4 \)
Ook y = 0 is een oplossing van de DV.
Bovenstaande uitwerking zie ik staan in het boek wiskunde voor het hoger onderwijs deel 2, uitwerkingen (vraagstuk 2.19 f). Probleem is dat ik een aantal stappen niet begrijp, namelijk:

1. De C komt in de tweede regel in de ln te staan, waarom kan deze niet gewoon als + C worden vermeld aan het einde van de regel?

2. Waarom wordt in dit geval x opgelost en niet y? Bij de voorgaande opgaven werd steeds y opgelost. Tijdens het typen valt mij op dat de volgende opgaven steeds weer worden opgelost tot y = ..., maar hebben ze nou de x en y omgedraaid of is de hele berekening verder correct?

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.571

Re: Scheiden van variabelen 1e graad, 1e orde DV

bij punt 1 moet ik je gelijk geven. Dat heb je terecht opgemerkt

Berichten: 10

Re: Scheiden van variabelen 1e graad, 1e orde DV

\( \int \frac{ydy}{\sqrt{3-y^2}} = \frac{1}{2} \int \frac{dx}{x^3} \)
met y ≠ ± 3
\( - \frac{1}{2} \int \frac{d(3-y^2)}{\sqrt{3-y^2}} = \frac{1}{2} \int \frac{dx}{x^3} \)
\(\sqrt{3-y^2} = \frac{1}{4x^2} + C \)
\(y = \sqrt{3-(\frac{1}{4x^2} + C)^2}\)
y = ±
\( \sqrt{3} \)
zijn oplossingen van de DV.
Boven staat nu 2.19e, deze kom ik ook niet uit en lost wel gewoon y op. Wat ik me bij deze afvraag is:

3. Wat gebeurt er allemaal de eerste stap aan de linkerkant van het is-teken? Van stap 2 naar 3 wordt de kettingregel omgekeerd toegepast zie ik.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Scheiden van variabelen 1e graad, 1e orde DV

RikH schreef: ma 04 nov 2013, 20:19
Bovenstaande uitwerking zie ik staan in het boek wiskunde voor het hoger onderwijs deel 2, uitwerkingen (vraagstuk 2.19 f). Probleem is dat ik een aantal stappen niet begrijp, namelijk:

1. De C komt in de tweede regel in de ln te staan, waarom kan deze niet gewoon als + C worden vermeld aan het einde van de regel?

2. Waarom wordt in dit geval x opgelost en niet y? Bij de voorgaande opgaven werd steeds y opgelost. Tijdens het typen valt mij op dat de volgende opgaven steeds weer worden opgelost tot y = ..., maar hebben ze nou de x en y omgedraaid of is de hele berekening verder correct?
Allereerst geef de gehele opgave ...

Weet je wat er bedoelt wordt met het oplossen van een DV? Zo ja, graag in je eigen woorden ...

1. klopt, volg je eigen idee ...

2. dit hangt samen met het antwoord wat ik hierboven vraag ...

Berichten: 546

Re: Scheiden van variabelen 1e graad, 1e orde DV

ln(Cx) = ln (x) + ln ( C ) dus die ln ( C ) is dan eigenlijk je constante. Maakt niets uit of je 'm in de logaritme zet of niet.

Gebruikersavatar
Berichten: 7.390

Re: Scheiden van variabelen 1e graad, 1e orde DV

Voor de duidelijkheid: als C constant is, dan is ook ln(C) constant.

Merk verder op dat beide leden een integratieconstante hebben, maar als C1 constant is, en C2 constant is, dan kan je ze aan dezelfde kant brengen en is het verschil ook constant.
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.

Berichten: 10

Re: Scheiden van variabelen 1e graad, 1e orde DV

In reactie op jullie antwoord op de constante: Ik ga er maar vanuit dat het boek het zo mooier vind staan en het verder hetzelfde is.

Van vraag 2 vermoed ik dat het een fout is in het boek, zouden jullie mij wel in de goede richting kunnen wijzen voor vraag 3, en dan om maar precies te zijn deze stap:

\(\int \frac{ydy}{\sqrt{3-y^2}} = - \frac{1}{2} \int \frac{d(3-y^2)}{\sqrt{3-y^2}} \)
[/color]

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.571

Re: Scheiden van variabelen 1e graad, 1e orde DV

stel:
\(z=3-y^2\)
bepaal nu
\(\frac{dz}{dy}\)

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Scheiden van variabelen 1e graad, 1e orde DV

RikH schreef: ma 04 nov 2013, 22:08
\(\int \frac{ydy}{\sqrt{3-y^2}} = - \frac{1}{2} \int \frac{d(3-y^2)}{\sqrt{3-y^2}} \)
[/color]
Vraag je eens af wat d(3-y^2) betekent, dus d(3-y^2)=... dy

Berichten: 10

Re: Scheiden van variabelen 1e graad, 1e orde DV

\(\int \frac{ydy}{\sqrt{3-y^2}} = - \frac{1}{2} \int \frac{d(3-y^2)}{\sqrt{3-y^2}}\)

\(\int \frac{ydy}{\sqrt{3-y^2}} = - \frac{1}{2} \int \frac{d(y^2+C)}{\sqrt{3-y^2}} = - \frac{1}{2} \int \frac{d(3-y^2)}{\sqrt{3-y^2}}\)


Hebbes! Bedankt allen.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Scheiden van variabelen 1e graad, 1e orde DV

Prima! Succes verder.

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Scheiden van variabelen 1e graad, 1e orde DV

RikH schreef: di 05 nov 2013, 09:17
\(\int \frac{ydy}{\sqrt{3-y^2}} = - \frac{1}{2} \int \frac{d(y^2+C)}{\sqrt{3-y^2}}\)
Hoe kom je aan die stap? In mijn ogen staat er hier een minteken fout.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Berichten: 10

Re: Scheiden van variabelen 1e graad, 1e orde DV

Drieske schreef: di 05 nov 2013, 10:45
Hoe kom je aan die stap? In mijn ogen staat er hier een minteken fout.
Goed gezien. Deze min wordt er neer gezet voor een latere stap, is op dat punt inderdaad nog niet nodig (komt omdat ik met een schuin oog naar de uitwerking keek).

Als het goed is komen ze er dus zo bij:
\( \int ydy = \int d(\frac{1}{2}y^2+C) = \frac{1}{2} \int d(y^2+C) = -\frac{1}{2} \int d(-y^2+C) = -\frac{1}{2} \int d(C-y^2) \)
Waarbij C = 3 wordt aangenomen zodat de kettingregel valt toe te passen (zie hierboven voor volledige opgave).

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Scheiden van variabelen 1e graad, 1e orde DV

Dat is dan uiteraard wel correct. Als je begrijpt waarom de min er nog niet hoorde, is het prima :) .
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Reageer