Pagina 1 van 1
Scheiden van variabelen 1e graad, 1e orde DV
Geplaatst: ma 04 nov 2013, 20:19
door RikH
\( \int \frac{dy}{y^{3}} = \int \frac{dx}{4+x} \)
met y ≠ 0; x ≠ -4
\( - \frac{1}{2y^2} = ln|C(4+x)| \)
\( x = D*e^{-\frac{1}{2y^2}}-4 \)
Ook y = 0 is een oplossing van de DV.
Bovenstaande uitwerking zie ik staan in het boek wiskunde voor het hoger onderwijs deel 2, uitwerkingen (vraagstuk 2.19 f). Probleem is dat ik een aantal stappen niet begrijp, namelijk:
1. De C komt in de tweede regel in de ln te staan, waarom kan deze niet gewoon als + C worden vermeld aan het einde van de regel?
2. Waarom wordt in dit geval x opgelost en niet y? Bij de voorgaande opgaven werd steeds y opgelost. Tijdens het typen valt mij op dat de volgende opgaven steeds weer worden opgelost tot y = ..., maar hebben ze nou de x en y omgedraaid of is de hele berekening verder correct?
Re: Scheiden van variabelen 1e graad, 1e orde DV
Geplaatst: ma 04 nov 2013, 20:26
door aadkr
bij punt 1 moet ik je gelijk geven. Dat heb je terecht opgemerkt
Re: Scheiden van variabelen 1e graad, 1e orde DV
Geplaatst: ma 04 nov 2013, 20:58
door RikH
\( \int \frac{ydy}{\sqrt{3-y^2}} = \frac{1}{2} \int \frac{dx}{x^3} \)
met y ≠ ± 3
\( - \frac{1}{2} \int \frac{d(3-y^2)}{\sqrt{3-y^2}} = \frac{1}{2} \int \frac{dx}{x^3} \)
\(\sqrt{3-y^2} = \frac{1}{4x^2} + C \)
\(y = \sqrt{3-(\frac{1}{4x^2} + C)^2}\)
y = ±
\( \sqrt{3} \)
zijn oplossingen van de DV.
Boven staat nu 2.19e, deze kom ik ook niet uit en lost wel gewoon y op. Wat ik me bij deze afvraag is:
3. Wat gebeurt er allemaal de eerste stap aan de linkerkant van het is-teken? Van stap 2 naar 3 wordt de kettingregel omgekeerd toegepast zie ik.
Re: Scheiden van variabelen 1e graad, 1e orde DV
Geplaatst: ma 04 nov 2013, 21:13
door Safe
RikH schreef: ↑ma 04 nov 2013, 20:19
Bovenstaande uitwerking zie ik staan in het boek wiskunde voor het hoger onderwijs deel 2, uitwerkingen (vraagstuk 2.19 f). Probleem is dat ik een aantal stappen niet begrijp, namelijk:
1. De C komt in de tweede regel in de ln te staan, waarom kan deze niet gewoon als + C worden vermeld aan het einde van de regel?
2. Waarom wordt in dit geval x opgelost en niet y? Bij de voorgaande opgaven werd steeds y opgelost. Tijdens het typen valt mij op dat de volgende opgaven steeds weer worden opgelost tot y = ..., maar hebben ze nou de x en y omgedraaid of is de hele berekening verder correct?
Allereerst geef de gehele opgave ...
Weet je wat er bedoelt wordt met het oplossen van een DV? Zo ja, graag in je eigen woorden ...
1. klopt, volg je eigen idee ...
2. dit hangt samen met het antwoord wat ik hierboven vraag ...
Re: Scheiden van variabelen 1e graad, 1e orde DV
Geplaatst: ma 04 nov 2013, 21:20
door Th.B
ln(Cx) = ln (x) + ln ( C ) dus die ln ( C ) is dan eigenlijk je constante. Maakt niets uit of je 'm in de logaritme zet of niet.
Re: Scheiden van variabelen 1e graad, 1e orde DV
Geplaatst: ma 04 nov 2013, 21:47
door In physics I trust
Voor de duidelijkheid: als C constant is, dan is ook ln(C) constant.
Merk verder op dat beide leden een integratieconstante hebben, maar als C1 constant is, en C2 constant is, dan kan je ze aan dezelfde kant brengen en is het verschil ook constant.
Re: Scheiden van variabelen 1e graad, 1e orde DV
Geplaatst: ma 04 nov 2013, 22:08
door RikH
In reactie op jullie antwoord op de constante: Ik ga er maar vanuit dat het boek het zo mooier vind staan en het verder hetzelfde is.
Van vraag 2 vermoed ik dat het een fout is in het boek, zouden jullie mij wel in de goede richting kunnen wijzen voor vraag 3, en dan om maar precies te zijn deze stap:
\(\int \frac{ydy}{\sqrt{3-y^2}} = - \frac{1}{2} \int \frac{d(3-y^2)}{\sqrt{3-y^2}} \)
[/color]
Re: Scheiden van variabelen 1e graad, 1e orde DV
Geplaatst: ma 04 nov 2013, 22:15
door aadkr
stel:
\(z=3-y^2\)
bepaal nu
\(\frac{dz}{dy}\)
Re: Scheiden van variabelen 1e graad, 1e orde DV
Geplaatst: ma 04 nov 2013, 22:28
door Safe
RikH schreef: ↑ma 04 nov 2013, 22:08
\(\int \frac{ydy}{\sqrt{3-y^2}} = - \frac{1}{2} \int \frac{d(3-y^2)}{\sqrt{3-y^2}} \)
[/color]
Vraag je eens af wat d(3-y^2) betekent, dus d(3-y^2)=... dy
Re: Scheiden van variabelen 1e graad, 1e orde DV
Geplaatst: di 05 nov 2013, 09:17
door RikH
\(\int \frac{ydy}{\sqrt{3-y^2}} = - \frac{1}{2} \int \frac{d(3-y^2)}{\sqrt{3-y^2}}\)
\(\int \frac{ydy}{\sqrt{3-y^2}} = - \frac{1}{2} \int \frac{d(y^2+C)}{\sqrt{3-y^2}} = - \frac{1}{2} \int \frac{d(3-y^2)}{\sqrt{3-y^2}}\)
Hebbes! Bedankt allen.
Re: Scheiden van variabelen 1e graad, 1e orde DV
Geplaatst: di 05 nov 2013, 10:08
door Safe
Prima! Succes verder.
Re: Scheiden van variabelen 1e graad, 1e orde DV
Geplaatst: di 05 nov 2013, 10:45
door Drieske
RikH schreef: ↑di 05 nov 2013, 09:17
\(\int \frac{ydy}{\sqrt{3-y^2}} = - \frac{1}{2} \int \frac{d(y^2+C)}{\sqrt{3-y^2}}\)
Hoe kom je aan die stap? In mijn ogen staat er hier een minteken fout.
Re: Scheiden van variabelen 1e graad, 1e orde DV
Geplaatst: di 05 nov 2013, 11:14
door RikH
Drieske schreef: ↑di 05 nov 2013, 10:45
Hoe kom je aan die stap? In mijn ogen staat er hier een minteken fout.
Goed gezien. Deze min wordt er neer gezet voor een latere stap, is op dat punt inderdaad nog niet nodig (komt omdat ik met een schuin oog naar de uitwerking keek).
Als het goed is komen ze er dus zo bij:
\( \int ydy = \int d(\frac{1}{2}y^2+C) = \frac{1}{2} \int d(y^2+C) = -\frac{1}{2} \int d(-y^2+C) = -\frac{1}{2} \int d(C-y^2) \)
Waarbij C = 3 wordt aangenomen zodat de kettingregel valt toe te passen (zie hierboven voor volledige opgave).
Re: Scheiden van variabelen 1e graad, 1e orde DV
Geplaatst: di 05 nov 2013, 11:35
door Drieske
Dat is dan uiteraard wel correct. Als je begrijpt waarom de min er nog niet hoorde, is het prima
.
