Wetenschapsforum

Hallo allemaal,

ik heb vandaag een toets gehad van wiskunde en er was een vraag die ik niet heb kunnen oplossen. Ik heb vrienden van mij gevraagd of zij dit hadden gevonden maar geen een van hun heeft dit gevonden. Daarom hoop ik dat dat iemand mij hier kan helpen om de vraag op de lossen.

De vraag was:

Bewijs dat arsinh x = ln(x+sqrt(x²+1))

De eerste drie stappen om de inverse functie van de sinus hyperbolicus te bepalen kan ik maar wanneer ik alles in functie van y moet schrijven zit ik echter vast.

Dit is tot waar ik raakt.

Stap 1: schrijf de functie

y = 1/2*(e^x - e^-x)

Stap 2: wissel x en y om

x = 1/2*(e^y - e^(-y))

Stap 3: alles schrijven in functie van y

2x = e^y*(1 - e^(-2y))

Maar nu zit ik echter vast...

Ik hoop dat iemand mij kan helpen

Alvast bedankt

neem nu z = e^y, aldus verkrijg je een gewone tweedegraadsvergelijking die je naar z kan oplossen

Of alternatief kan je de gegeven uitdrukking voor de inverse invullen in de formule van sinh (m.a.w. aantonen dat sinh(arcsinh(x)) = x)

je bent goed bezig

de inverse van y=sinus hyperbolicus x is gelijk aan

\(x=\frac{1}{2} \cdot \left(e^y-e^{-y}\right)\)

vermenigvuldig nu links en rechts van het =teken met 2

als je links en rechts van het = teken met 2 vermenigvuldigd, dan krijg je:

\(2x=\left(e^y-e^{-y}\right) \)

dit mag je ook als volgt schrijven:

\(e^y-e^{-y}-2x=0\)

begrijp je dat?

Het is niet mijn bedoeling om chaos te creëren, maar het kan volgens mij veel makkelijker door een ander pad te volgen. Je hoeft het helemaal niet op deze manier te doen. Als iemand daar interesse in heeft zal ik dat hier posten, maar ik wil geen verwarring scheppen of off-topic gaan.

Wow, alvast bedankt allemaal voor de vele reacties.

Typhoner schreef: ↑vr 08 nov 2013, 19:17
neem nu z = e^y, aldus verkrijg je een gewone tweedegraadsvergelijking die je naar z kan oplossen

Dus dan krijg ik x = z*(1 - z^(-2))

Zo dan? ik ben niet zeker dat zie z^(-2) juist is

aadkr schreef: ↑vr 08 nov 2013, 21:09
als je links en rechts van het = teken met 2 vermenigvuldigd, dan krijg je:

\(2x=\left(e^y-e^{-y}\right) \)
dit mag je ook als volgt schrijven:

\(e^y-e^{-y}-2x=0\)
begrijp je dat?

Ja die stap spreekt voor zich

Florence 123 schreef: ↑za 09 nov 2013, 10:40
Dus dan krijg ik x = z*(1 - z^(-2))

Zo dan? ik ben niet zeker dat zie z^(-2) juist is

misschien had je die substitutie beter gedaan in de voorgaande stap. In ieder geval moet je nu proberen de z uit de noemers weg te krijgen om uiteindelijk naar iets van de vorm az2 + bz + c = 0 te komen, waarbij je deze tweedegraadsvergelijking moet oplossen naar z. (Denk eraan dat a, b of c ook iets met x in kunnen zijn)

Opmerking moderator

Laten we eerst de initiële aanpak van TS uitwerken. Daarna kunnen (eenvoudigere) alternatieven worden aangeboden. One thing at the time. Om deze reden zijn enkele berichten verwijderd, zodat het topic helder blijft. Indien iemand hier vragen bij heeft, kan je me contacteren per PB.

Florence 123 schreef: ↑za 09 nov 2013, 10:40
Dus dan krijg ik x = z*(1 - z^(-2))

Zo dan? ik ben niet zeker dat zie z^(-2) juist is

Dit is juist! Ga verder ... , zie ook hint Typhoner.

Typhoner schreef: ↑za 09 nov 2013, 11:06
misschien had je die substitutie beter gedaan in de voorgaande stap. In ieder geval moet je nu proberen de z uit de noemers weg te krijgen om uiteindelijk naar iets van de vorm az2 + bz + c = 0 te komen, waarbij je deze tweedegraadsvergelijking moet oplossen naar z. (Denk eraan dat a, b of c ook iets met x in kunnen zijn)

Bedoel je dat ik dan z - z^(-2) -2x = 0 bekom?

Alvast heel erg bedankt

Florence 123 schreef: ↑za 09 nov 2013, 12:57
Bedoel je dat ik dan z - z^(-2) -2x = 0 bekom?

Dit is niet juist, je hebt de haakjes niet goed verdreven ...

Safe schreef: ↑za 09 nov 2013, 13:05
Dit is niet juist, je hebt de haakjes niet goed verdreven ...

Ik zie eigenlijk niet in hoe ik de haakjes fout heb uitgewerkt...

x=1/2*(e^y-e^(-2y))

Dan zet ik die 1/2 naar de andere kant en vervang ik e^y door z.

Dan krijg ik:

2x = z- z^(-2)

Dan zet ik alles naar de rechterkant:

0 = z - z^(-2y) -2x

Dan ga ik rangschikken en zet ik de z^(-2y) vanvoor gewoon om ze in de volgorde vaan dalende machten te zetten:

z^(-2y) - z - 2x = 0

En dan zit ik weet vast

Ga eens uit van [url=javascript:toonOfVerberg(] Afbeelding

[/url] . Vermenigvuldig nu links en rechts met e^y en stel vervolgens e^y = z. Los nu de vergelijking in z eens op en bereken daarmee de waarde van y.

Dan krijg ik:

2x = z- z^(-2)

Dan zet ik alles naar de rechterkant:

0 = z - z^(-2y) -2x

Waar komt die y nu vandaan?

Wetenschapsforum

[wiskunde] Inverse functie van de sinus hyperbolicus

Inverse functie van de sinus hyperbolicus

Re: Inverse functie van de sinus hyperbolicus

Re: Inverse functie van de sinus hyperbolicus

Re: Inverse functie van de sinus hyperbolicus

Re: Inverse functie van de sinus hyperbolicus

Re: Inverse functie van de sinus hyperbolicus

Re: Inverse functie van de sinus hyperbolicus

Re: Inverse functie van de sinus hyperbolicus

Re: Inverse functie van de sinus hyperbolicus

Re: Inverse functie van de sinus hyperbolicus

Re: Inverse functie van de sinus hyperbolicus

Re: Inverse functie van de sinus hyperbolicus

Re: Inverse functie van de sinus hyperbolicus

Re: Inverse functie van de sinus hyperbolicus

Re: Inverse functie van de sinus hyperbolicus