[wiskunde] Lineaire afbeelding van polynomen

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Berichten: 56

Lineaire afbeelding van polynomen

Ik ben bezig met een vraag, en de vragen zelf lijken niet zo moeilijk, maar ik heb een beetje moeite met het begrijpen van hetgeen dat gegeven is. Dit is de inleiding:

Zij n een geheel positief getal en
\(F[x]_n\)
de vectorruimte van polynomen over F met maximale graad n. Neem aan dat
\(a_0, a_1, ... , a_n \in F \)
verschillende elementen zijn. Zij
\(T: F[x]_n -> F^{n+1}\)
de functie gegeven door
\(T(f) = (f(a_0), f(a_1), ... , f(a_n))\)
Ik heb niet echt een idee wat ze met die lineaire afbeelding bedoelen. Je kan f schrijven als
\(f = s_0 × x^n + s_1 × x^{n-1} + ... + s_{n-1} × x + s_n\)
Dan geldt dat
\(f(a_0) = s_0 × {a_0}^n + s_1 × {a_1}^{n-1} + ... + s_{n-1} × {a_0} + s_n\)
. Is de afbeelding van f dan de vector met de zojuist genoemde
\(f(a_0), f(a_1), ... , f(a_n)\)
?

Het klinkt zo... raar. Ik zie niet echt ten eerste wat het nou zou moeten voorstellen, vandaar mijn twijfels of dit wel een juiste aanname is. Zou iemand mij een voorbeeld kunnen geven met gewoon gegeven n en dergelijke of het gewoon duidelijk willen uitleggen?

Alvast bedankt :)

Beroemdheid

Berichten: 56

Re: Lineaire afbeelding van polynomen

Sorry voor de bump, maar ik hoop dat er toch iemand zou willen zeggen of dit een juiste gedachte is :)

Ik geloof echter wel dat dit de juiste weg is, dus ik ben de vragen maar gaan maken. Ik moet aantonen dat T surjectief is. Hoe moet ik dit aanpakken?

Ik weet dat de dimensies van het domein en van het bereik gelijk zijn, dus daaruit volgt dat als T injectief is, hij ook surjectief is. Is het dan handiger om aan te tonen dat hij injectief is? Daarvoor hoef ik alleen aan te tonen dat de kern alleen de nulvector bevat, dat lijkt me makkelijker. Klopt dat?

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Lineaire afbeelding van polynomen

Laten we voor F eens gewoon het veld R nemen en voor n=2. Een tweedegraadsveelterm is steeds van de vorm ax² + bx + c. We moeten nu dus drie getalletjes kiezen in R. Stel dat we nemen: pi, 1 en e (= 2,718... ). Dan is T de afbeelding die f afbeeldt op
\((a \pi^2 + b \pi + c, a 1^2 + b 1 + c, a e^2 + b e + c) = (a \pi^2 + b \pi + c, a + b + c, a e^2 + b e + c)\)
. Nu ga je dit gewoon veralgemenen naar veeltermen van een willekeurige graad n, en over een willekeurige F. Snap je het dan?

Ivm de surjectiviteit: er ontbreken gegevens, of verwoordingen, om dat te kunnen bewijzen. Nu is het namelijk niet geldig. Zij r een willekeurig element in F. Definieer nu f(x) = r. Dan is T(f) = (r, r, ..., r) en dat is duidelijk niet surjectief.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Berichten: 56

Re: Lineaire afbeelding van polynomen

Oké, bedankt :)

Er ontbreken echt geen gegevens, ik heb letterlijk de opgave overgetypt (weliswaar vertaald, misschien zit daar de fout?). Maar ik geloof dat hij wel surjectief is, T hoeft toch alleen maar op elk element in
\(F^{n+1}[\tex] af te beelden? Jouw f(x) = r = 1 doet dat bijvoorbeeld op (1, 1, ... , 1), maar voor f(x) = x^2 - 3 kan je een heel ander rijtje getallen krijgen, als je er verschillende x invult, toch?\)

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Lineaire afbeelding van polynomen

Ja, sorry, ik was even in de war :) . Ik had één f gefixeerd, maar dat werkt natuurlijk niet. Het gaat inderdaad surjectief zijn, en het makkelijkste is effectief aantonen dat het injectief is... Lukt dat?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Berichten: 7.068

Re: Lineaire afbeelding van polynomen

Ik mis de vraag in deze vraag... Wil je kijken of T een lineaire afbeelding is? Ofwel dat geldt:
\(T(f+g) = T(f) + T(g)\)
en
\(T(\lambda f) = \lambda T(f)\)

Berichten: 56

Re: Lineaire afbeelding van polynomen

Drieske schreef: di 12 nov 2013, 09:20
Ja, sorry, ik was even in de war :) . Ik had één f gefixeerd, maar dat werkt natuurlijk niet. Het gaat inderdaad surjectief zijn, en het makkelijkste is effectief aantonen dat het injectief is... Lukt dat?
Nee, ik zie niet echt in hoe dat gaat. Een manier zou zijn om te bewijzen dat de kern alleen de nulvector bevat, dus f(x) = 0, maar ik zie niet zo snel hoe ik dat doe.
EvilBro schreef: di 12 nov 2013, 09:47
Ik mis de vraag in deze vraag... Wil je kijken of T een lineaire afbeelding is? Ofwel dat geldt:
\(T(f+g) = T(f) + T(g)\)
en
\(T(\lambda f) = \lambda T(f)\)
Het ging vooral over de vraag wat T precies doet. Hoe een lineaire afbeelding is gedefinieerd weet ik nog wel ;)

Berichten: 7.068

Re: Lineaire afbeelding van polynomen

Het ging vooral over de vraag wat T precies doet.
T is een functie die als argument een functie heeft. Aan deze invoerfunctie wordt een vector gekoppeld.
Ivm de surjectiviteit: er ontbreken gegevens, of verwoordingen, om dat te kunnen bewijzen.
Volgens mij heb je daarin ongelijk.
Zij r een willekeurig element in F. Definieer nu f(x) = r. Dan is T(f) = (r, r, ..., r) en dat is duidelijk niet surjectief.
De fout die je hier maakt is volgens mij dat je maar 1 functie f bekijkt. Dat is niet voldoende om tot de conclusie te komen dat T niet surjectief is. Om dat te kunnen bewijzen, moet je aantonen dat er een vector is waarvoor geen corresponderende invoerfunctie bestaat.

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Lineaire afbeelding van polynomen

@Evilbro: heb je bovenstaande posts wel gelezen? Het lijkt er niet echt op.
Beroemdheid schreef: di 12 nov 2013, 20:09
Nee, ik zie niet echt in hoe dat gaat. Een manier zou zijn om te bewijzen dat de kern alleen de nulvector bevat, dus f(x) = 0, maar ik zie niet zo snel hoe ik dat doe.
Stel dus dat
\((f(\alpha_0), \ldots, f(\alpha_n)) = (0, \ldots, 0)\)
, wat weet je dan van je alpha's?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Berichten: 7.068

Re: Lineaire afbeelding van polynomen

Ik had die waar jij jouw fout al ontdekt had inderdaad gemist... voor de toekomst: het is handiger om gewoon te linken naar het bericht waar het om gaat.

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Lineaire afbeelding van polynomen

Okee :) . Ik dacht gewoon dat er nog wat anders mis was in jouw ogen.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Berichten: 56

Re: Lineaire afbeelding van polynomen

Stel dus dat
\((f(\alpha_0), \ldots, f(\alpha_n)) = (0, \ldots, 0)\)
, wat weet je dan van je alpha's?
Behalve dan dat ze allemaal als beeld 0 hebben, weet ik niet wat je er verder nog over kan vertellen.

Berichten: 7.068

Re: Lineaire afbeelding van polynomen

Hoeveel nulpunten kan een polynoom van graad n maximaal hebben? Vergelijk dit aantal met het aantal alfa's dat je hebt.

Berichten: 56

Re: Lineaire afbeelding van polynomen

Dat hebben we nog niet gehad bij lineaire algebra, dus ik weet niet of ik dat wel mag gebruiken.

Berichten: 7.068

Re: Lineaire afbeelding van polynomen

Ik neem toch aan dat je dat bij een eerder vak wel gehad hebt. Wiskunde wordt vrij lastig als je alleen de wiskunde mag gebruiken die toevallig in het huidige vak gebruikt wordt (dan zou elk vak weer alles moeten behandelen wat al eerder geweest is.... "optellen"? Dat staat hier niet uitgelegd hoor... :P ).

Los daarvan: het zou erom moeten gaan dat jij tot juiste verifieerbare antwoorden komt. Ik denk dat met het antwoord op mijn vraag je een redenatie op kunt stellen waar geen redelijk mens aan zal twijfelen.

Reageer