Springen naar inhoud

Lineaire afbeelding van polynomen



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Beroemdheid

    Beroemdheid


  • >25 berichten
  • 56 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 november 2013 - 20:44

Ik ben bezig met een vraag, en de vragen zelf lijken niet zo moeilijk, maar ik heb een beetje moeite met het begrijpen van hetgeen dat gegeven is. Dit is de inleiding:
Zij n een geheel positief getal en LaTeX de vectorruimte van polynomen over F met maximale graad n. Neem aan dat LaTeX verschillende elementen zijn. Zij LaTeX de functie gegeven door LaTeX

Ik heb niet echt een idee wat ze met die lineaire afbeelding bedoelen. Je kan f schrijven als LaTeX Dan geldt dat LaTeX . Is de afbeelding van f dan de vector met de zojuist genoemde LaTeX ?

Het klinkt zo... raar. Ik zie niet echt ten eerste wat het nou zou moeten voorstellen, vandaar mijn twijfels of dit wel een juiste aanname is. Zou iemand mij een voorbeeld kunnen geven met gewoon gegeven n en dergelijke of het gewoon duidelijk willen uitleggen?

Alvast bedankt :)

Beroemdheid

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Beroemdheid

    Beroemdheid


  • >25 berichten
  • 56 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 november 2013 - 19:42

Sorry voor de bump, maar ik hoop dat er toch iemand zou willen zeggen of dit een juiste gedachte is :)

Ik geloof echter wel dat dit de juiste weg is, dus ik ben de vragen maar gaan maken. Ik moet aantonen dat T surjectief is. Hoe moet ik dit aanpakken?

Ik weet dat de dimensies van het domein en van het bereik gelijk zijn, dus daaruit volgt dat als T injectief is, hij ook surjectief is. Is het dan handiger om aan te tonen dat hij injectief is? Daarvoor hoef ik alleen aan te tonen dat de kern alleen de nulvector bevat, dat lijkt me makkelijker. Klopt dat?

#3

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 12 november 2013 - 08:28

Laten we voor F eens gewoon het veld R nemen en voor n=2. Een tweedegraadsveelterm is steeds van de vorm ax² + bx + c. We moeten nu dus drie getalletjes kiezen in R. Stel dat we nemen: pi, 1 en e (= 2,718... ). Dan is T de afbeelding die f afbeeldt op LaTeX . Nu ga je dit gewoon veralgemenen naar veeltermen van een willekeurige graad n, en over een willekeurige F. Snap je het dan?

Ivm de surjectiviteit: er ontbreken gegevens, of verwoordingen, om dat te kunnen bewijzen. Nu is het namelijk niet geldig. Zij r een willekeurig element in F. Definieer nu f(x) = r. Dan is T(f) = (r, r, ..., r) en dat is duidelijk niet surjectief.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#4

Beroemdheid

    Beroemdheid


  • >25 berichten
  • 56 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 november 2013 - 08:37

Oké, bedankt :)

Er ontbreken echt geen gegevens, ik heb letterlijk de opgave overgetypt (weliswaar vertaald, misschien zit daar de fout?). Maar ik geloof dat hij wel surjectief is, T hoeft toch alleen maar op elk element in [tex]F^{n+1}[\tex] af te beelden? Jouw f(x) = r = 1 doet dat bijvoorbeeld op (1, 1, ... , 1), maar voor f(x) = x^2 - 3 kan je een heel ander rijtje getallen krijgen, als je er verschillende x invult, toch?

#5

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 12 november 2013 - 09:20

Ja, sorry, ik was even in de war :). Ik had één f gefixeerd, maar dat werkt natuurlijk niet. Het gaat inderdaad surjectief zijn, en het makkelijkste is effectief aantonen dat het injectief is... Lukt dat?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#6

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 12 november 2013 - 09:47

Ik mis de vraag in deze vraag... Wil je kijken of T een lineaire afbeelding is? Ofwel dat geldt:
LaTeX
en
LaTeX

#7

Beroemdheid

    Beroemdheid


  • >25 berichten
  • 56 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 november 2013 - 20:09

Ja, sorry, ik was even in de war :). Ik had één f gefixeerd, maar dat werkt natuurlijk niet. Het gaat inderdaad surjectief zijn, en het makkelijkste is effectief aantonen dat het injectief is... Lukt dat?

Nee, ik zie niet echt in hoe dat gaat. Een manier zou zijn om te bewijzen dat de kern alleen de nulvector bevat, dus f(x) = 0, maar ik zie niet zo snel hoe ik dat doe.

Ik mis de vraag in deze vraag... Wil je kijken of T een lineaire afbeelding is? Ofwel dat geldt:
LaTeX


en
LaTeX

Het ging vooral over de vraag wat T precies doet. Hoe een lineaire afbeelding is gedefinieerd weet ik nog wel ;)

#8

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 13 november 2013 - 08:10

Het ging vooral over de vraag wat T precies doet.

T is een functie die als argument een functie heeft. Aan deze invoerfunctie wordt een vector gekoppeld.

Ivm de surjectiviteit: er ontbreken gegevens, of verwoordingen, om dat te kunnen bewijzen.

Volgens mij heb je daarin ongelijk.

Zij r een willekeurig element in F. Definieer nu f(x) = r. Dan is T(f) = (r, r, ..., r) en dat is duidelijk niet surjectief.

De fout die je hier maakt is volgens mij dat je maar 1 functie f bekijkt. Dat is niet voldoende om tot de conclusie te komen dat T niet surjectief is. Om dat te kunnen bewijzen, moet je aantonen dat er een vector is waarvoor geen corresponderende invoerfunctie bestaat.

#9

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 13 november 2013 - 09:23

@Evilbro: heb je bovenstaande posts wel gelezen? Het lijkt er niet echt op.

Nee, ik zie niet echt in hoe dat gaat. Een manier zou zijn om te bewijzen dat de kern alleen de nulvector bevat, dus f(x) = 0, maar ik zie niet zo snel hoe ik dat doe.

Stel dus dat LaTeX , wat weet je dan van je alpha's?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#10

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 13 november 2013 - 09:43

Ik had die waar jij jouw fout al ontdekt had inderdaad gemist... voor de toekomst: het is handiger om gewoon te linken naar het bericht waar het om gaat.

#11

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 13 november 2013 - 09:58

Okee :). Ik dacht gewoon dat er nog wat anders mis was in jouw ogen.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#12

Beroemdheid

    Beroemdheid


  • >25 berichten
  • 56 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 november 2013 - 22:58

Stel dus dat LaTeX

, wat weet je dan van je alpha's?

Behalve dan dat ze allemaal als beeld 0 hebben, weet ik niet wat je er verder nog over kan vertellen.

#13

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 13 november 2013 - 23:19

Hoeveel nulpunten kan een polynoom van graad n maximaal hebben? Vergelijk dit aantal met het aantal alfa's dat je hebt.

#14

Beroemdheid

    Beroemdheid


  • >25 berichten
  • 56 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 november 2013 - 22:28

Dat hebben we nog niet gehad bij lineaire algebra, dus ik weet niet of ik dat wel mag gebruiken.

#15

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 november 2013 - 09:39

Ik neem toch aan dat je dat bij een eerder vak wel gehad hebt. Wiskunde wordt vrij lastig als je alleen de wiskunde mag gebruiken die toevallig in het huidige vak gebruikt wordt (dan zou elk vak weer alles moeten behandelen wat al eerder geweest is.... "optellen"? Dat staat hier niet uitgelegd hoor... :P ).

Los daarvan: het zou erom moeten gaan dat jij tot juiste verifieerbare antwoorden komt. Ik denk dat met het antwoord op mijn vraag je een redenatie op kunt stellen waar geen redelijk mens aan zal twijfelen.






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures