Springen naar inhoud

Bewijzen dat R en het interval [0,1] equipotent zijn


  • Log in om te kunnen reageren

#1

benno321

    benno321


  • >25 berichten
  • 39 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 15 november 2013 - 14:53

Goedendag

Ik zou moeten bewijzen dat R en het interval [0,1] equipotent zijn. Dit zou ik kunnen doen met een bijectieve functie van R naar [0,1] te zoeken omwille van de stelling van Cantor, maar ik heb geen idee hoe ik zo een bijectieve functie zou moeten vinden.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 15 november 2013 - 15:13

Probeer eens iets intuïtief te tekenen (ofzo) van hoe je [0, 1] en R in bijectie kunt brengen?

PS: Je kan bijv. eerst (0, 1) en R in bijectie brengen en dan (0, 1) en [0, 1]. Dat is minder rechtstreeks, maar ook "geldig".
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

benno321

    benno321


  • >25 berichten
  • 39 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 15 november 2013 - 15:33

Ik zou niet weten hoe ik dat moet doen, bij de rationale getallen kun je dat zo aftellen en er voor zorgen dat ieder getal aan de beurt komt maar hoe kun je zoiets doen met reële getallen, aangezien dat daar ook irrationale tussen zitten.

#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 15 november 2013 - 15:35

Zou je wel een bijectie kunnen leggen tussen (0, 1) en R?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#5

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 november 2013 - 15:51

Is het niet voldoende om te bewijzen dat [0,1] injectief is op R en andersom? Daaruit volgt immers dat er een bijectie bestaat en dus equipotentie.

#6

benno321

    benno321


  • >25 berichten
  • 39 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 15 november 2013 - 15:56

Ik denk dat ik het niet perfect snap, want er kan toch geen bijectie zijn tussen (0,1) en R want (0,1) heeft toch maar 2 elementen en R overaftelbaar. Dan kan daar toch geen bijectie tussen worden gemaakt of zie ik het verkeerd?

#7

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 november 2013 - 15:58

Ik ging er vanuit dat je met (0,1) bedoelde alle reeele getallen groter dan 0 en kleiner dan 1. Met [0,1] dacht ik dat je bedoelde alle reeele getallen groter dan of gelijk aan 0 en kleiner dan of gelijk aan 1.

#8

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 15 november 2013 - 16:01

Daar ga ik ook wel van uit dat je dat bedoelt... Tussen (0, 1) en R is zelfs zeer makkelijk. Hint: denk aan tan(x).
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#9

benno321

    benno321


  • >25 berichten
  • 39 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 15 november 2013 - 16:19

Ah ok, dan is de bijectie tan((x*10/pi)+pi/2) als ik mij niet vergis.

#10

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 november 2013 - 18:05

Kun je uitleggen hoe jij denkt dat dat een bijectie is?

#11

benno321

    benno321


  • >25 berichten
  • 39 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 15 november 2013 - 18:32

Het is injectief want voor iedere x, is er maximaal 1 y. Het is ook surjectief want voor iedere y is er een x waarvoor geldt dat f-1(y)=x dus als het injectief en surjectief is, is het ook bijectief

#12

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 november 2013 - 19:50

LaTeX
Stel:
LaTeX
LaTeX
LaTeX
Dat ligt in het interval [0,1]. Er zijn dus meerdere x waarden met dezelfde y waarde. De gegeven functie is dus geen bijectie.

Bekijk de tangens eens op het domein: LaTeX

#13

benno321

    benno321


  • >25 berichten
  • 39 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 15 november 2013 - 20:50

Ik had verkeerd geteld, maar tan(pi*x+pi/2) is in het interval (0,1) bijectief.

#14

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 november 2013 - 21:20

Daar kan ik het wel mee eens zijn. :)

Een andere methode:
[0,1] is duidelijk injectief op R. De vraag is of het ook andersom geldt:
LaTeX
LaTeX
Het antwoord is dus dat het geldt. Aangezien beide kanten op injectief een optie is, is er ook een bijectie.

#15

benno321

    benno321


  • >25 berichten
  • 39 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 17 november 2013 - 18:18

Ok dank u





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures