Springen naar inhoud

limiet


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Jekke

    Jekke


  • >250 berichten
  • 997 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 november 2013 - 17:12

Het is lang geleden dat ik nog met limieten ben beziggeweest. Nu zit ik toch verveeld met eentje:

LaTeX

Dat deze limiet aan de rechterkant 1 is lijkt me evident. Als ik echter het antwoord vraag aan Maple of Wolframalpha, geven die ook voor de linkerzijde hetzelfde antwoord 1.

Ik vraag me af of deze limiet (of eenvoudiger de limiet LaTeX ) aan de linkerzijde uberhaupt kān bestaan? Aangezien, indien we LaTeX nemen, de functie LaTeX slechts gedefinieerd is voor negatieve rationale getallen waarbij de noemer een oneven getal is.

Iemand die hier duidelijkheid kan scheppen?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 20 november 2013 - 17:36

LaTeX




Schrijf de macht als een e-macht ...



Ik vraag me af of deze limiet (of eenvoudiger de limiet LaTeX

) aan de linkerzijde uberhaupt kàn bestaan? Aangezien, indien we LaTeX nemen, de functie LaTeX slechts gedefinieerd is voor negatieve rationale getallen waarbij de noemer een oneven getal is.


Inderdaad kan je alleen positieve x bekijken!

#3

Jekke

    Jekke


  • >250 berichten
  • 997 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 november 2013 - 17:55

Schrijf de macht als een e-macht ...





Inderdaad kan je alleen positieve x bekijken!


Ik begrijp hoe ik de limiet LaTeX moet uitwerken.

Mijn vraag is echter of de limiet LaTeX bestaat? Volgens Maple en WolframAlpha bestaat deze wel degelijk. Volgens u dus niet, kunt u hier wat meer uitleg bij geven?

Veranderd door Jekke, 20 november 2013 - 17:55


#4

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 20 november 2013 - 18:18

De functie f(x)=a^x is alleen gedefinieerd voor a>0 en x reëel.

Er ontstaan problemen bij a<=0, bv (-2)^(1/2)

#5

Flisk

    Flisk


  • >1k berichten
  • 1270 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 21 november 2013 - 17:55

Ik denk dat maple dan waarschijnlijk met complexe getallen werk ipv reële, dan is de functie wel gedefinieert voor alle negatieve x.
Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.

#6

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 21 november 2013 - 18:35

Waarom kijk je naar (bv) Maple? Je kan toch gemakkelijk nagaan dat er 1 uit moet komen of ...

#7

Jekke

    Jekke


  • >250 berichten
  • 997 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 november 2013 - 20:32

Dat klopt. Dat kan je gemakkelijk nagaan. Echter als je niet erg bedreven bent in het berekenen van limieten kan het soms handig zijn een pakket te hebben als maple om je berekeningen te verifiëren.

Ik vermoedde ook dat de linkerlimiet niet bestaat. Ik twijfelde echter omdat de functie LaTeX wel gedefinieerd is voor alle negatieve rationale getallen met een oneven noemer. Dit is echter geen interval en dus is de limiet niet gedefinieerd.

Veranderd door Jekke, 21 november 2013 - 20:33


#8

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 21 november 2013 - 21:09

Ik bedoel, vul bv voor x=.001 in, en ook x=10^(-6) ...

Maar hoe ga je verder ... ?

#9

Flisk

    Flisk


  • >1k berichten
  • 1270 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 24 november 2013 - 15:33

Ik bedoel, vul bv voor x=.001 in, en ook x=10^(-6) ...

Maar hoe ga je verder ... ?

Ik denk dat de TS wel begrijpt hoe je een limiet uitrekent, maar zich vooral afvraagt waarom die softwarepakketten een resultaat geven voor de linkerlimiet, die in R niet bestaat.

De reden hiervoor is dat x^x wel gedefinieerd is voor negatieve getallen in C, het softwarepakket rekent deze limiet dus waarschijnlijk uit in de complexe getallen.

Geplaatste afbeelding

Dit is de grafiek voor x^x waarbij de rode curve het complexe deel is en de blauwe het reële deel is. Men kan zien als men de limiet in het punt nul neemt, het complexe deel 0 wordt en het reële deel 1 wordt.

Veranderd door Flisk, 24 november 2013 - 15:38

Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.

#10

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 24 november 2013 - 23:13

Ik denk dat de TS wel begrijpt hoe je een limiet uitrekent,


Het gaat niet om 'uitrekenen' maar om benaderen ...
Wat pakketten als bv Maple doen is belangrijk als je weet hoe dit plaats vindt.
Ik heb al aangegeven dat a<=0 niet mogelijk is in de functie a^x met x als reëel getal ... , wat te denken bv van a^(-1) a=0?

#11

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 25 november 2013 - 09:03

Ik heb al aangegeven dat a<=0 niet mogelijk is in de functie a^x met x als reëel getal ... , wat te denken bv van a^(-1) a=0?

Opmerking moderator :

Dat is nog steeds geen antwoord op de vraag van TS: waarom geeft Maple wél een getal als uitkomst voor de linkse limiet? Als je weet waarom, geef dat dan even duidelijk aan zou ik zeggen. Als bijv. het idee van Flisk klopt, bevestig dat dan bijv.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#12

Flisk

    Flisk


  • >1k berichten
  • 1270 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 26 november 2013 - 17:25

Ik heb het volledige antwoord gevonden, zoals Safe al gezegd had, de linker limiet bestaat niet voor reële getallen.
De reden waarom Maple toch een oplossing geeft is, zoals ik al vermoedde, omdat Maple standaard de complexe oplossingen weergeeft. Zie o.a. volgende link hoe dit te verkomen:
http://www.maplesoft...ictingthedomain

Voer maar eens volgende cmd's in:

with(RealDomain); limit(x^x, x = 0);

Nu krijg je undefined als antwoord.
Doe daarna:

restart; limit(x^x, x = 0);

en je krijgt 1 als antwoord.
Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.

#13

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 26 november 2013 - 17:29

Blijkens dit bericht van de moderator heb ik je vraag niet begrepen, dus nu aan jou de vraag of je tevreden bent met mijn aanwijzingen dat alleen de rechterlimiet bestaat. Dit ondanks de schijn, via de grafiek, dat ook de linkerlimiet bestaat ...

#14

Jekke

    Jekke


  • >250 berichten
  • 997 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 26 november 2013 - 18:06

Inderdaad vraag ik me af waarom de softwarepakketten zoals maple een antwoord geven. Let op dat maple geen numeriek pakket is maar een computeralgebra pakket. Anderzijds weet ik (wat maple zelf ook toegeeft) dat maple bij het commando limit in bepaalde gevallen de mist ingaat.

Ik heb intussen zelfs ontdekt dat in maple het commando limit(x^x,x=0,real) eveneens 1 als uitkomst geeft.

Anderzijds, terzijde genomen dat ik begrijp dat LaTeX voor LaTeX en LaTeX reëel niet gedefinieerd is, vraag ik me toch nog af of die linkerlimiet toch niet te definieren valt. Beschouw dat LaTeX wel gedefinieerd is voor LaTeX en LaTeX met p een oneven getal, als zijnde LaTeX en LaTeX voor LaTeX negatief.

Definieren we dan LaTeX met LaTeX . Aangezien elke eindige omgeving van LaTeX een punt bevat van LaTeX , is het correct het bestaan van de limiet van LaTeX in LaTeX te onderzoeken. Het is nu zo dat voor elke LaTeX er een LaTeX bestaat zodanig dat voor elke LaTeX met LaTeX geldt LaTeX . Beschouw bvb LaTeX met LaTeX , dan voldoet LaTeX ; andere gevallen voor LaTeX zijn eenvoudig te behandelen.

Veranderd door Jekke, 26 november 2013 - 18:39


#15

Flisk

    Flisk


  • >1k berichten
  • 1270 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 26 november 2013 - 18:36

Maple maakt inderdaad wat fouten bij het berekenen van limieten.
limit(x^x,x=0,real) zal niet werken, de reden hiervoor is waarschijnlijk (gokje) omdat Maple het argument wel als reëel beschouwt, maar de uitkomst nog altijd complex weergeeft.
with(RealDomain); limit(x^x, x = 0,right);
geeft 1

with(RealDomain); limit(x^x, x = 0,left);
geeft undefined.
Deze twee resultaten kloppen dan wel weer.
Maar bij bijvoorbeeld
with(RealDomain); limit(x^x, x = -1/5);
geeft Maple als resultaat: -5^(1/5).
Terwijl de functie x^x niet gedefinieerd is voor negatieve x element van R.

De functie zou men uiteraard kunnen definiëren voor negatieve x element van Q zolang de noemer oneven is of de teller even. We noemen x^x niet gedefinieerd voor negatieve x uit handigheid lijkt me. Ik vermoed dat als we alle negatieve x waarden waarvoor x^x wel bestaat, ook op de grafiek plotten, we wel een curve krijgen, maar dan met oneindig veel gaten (die je trouwens niet kan zien). Misschien dat Safe hierover zekerheid kan brengen.

Maple kent de 'afspraak' dat x^x niet bestaan voor negatieve x niet en zal hierdoor waarschijnlijk vaak in de fout gaat.

Veranderd door Flisk, 26 november 2013 - 18:39

Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures