ok, ik doe een poging, maar ben geen expert, corrigeer mij als er een fout in staat:
\( n>1 \)
\(\lim(\frac{n^{\frac{ln(n)}{n}}}{ln(n)})= \frac{\lim(n^{\frac{ln n}{n}})}{\lim(\ln(n))}\)
de noemer gaat naar
\( + \infty \)
de teller als volgt:
\( \lim(n^{\frac{ln n}{n}})\)
\(= \lim(\exp(\ln(n^{\frac{\ln{n}}{n}}))) \)
\(= \lim( \exp( \frac{\ln{n}}{n} \cdot \ln{n})) \)
\(= \exp(\lim(\frac{(\ln{n})^2}{n})) \)
Hopital
\(= \exp(\lim(\frac{2 \frac{\ln{n}}{n}}{1})) \)
\(= \exp(2 \cdot \lim(\frac{\ln{n}}{n})) \)
alweer Hopital
\(= \exp( 2 \cdot \lim(\frac{\frac{1}{n}}{1})) \)
\(= \exp(2 \cdot 0) \)
\(= \exp(0) \)
\(= 1 \)
Dus teller gaat naar 1 , noemer naar oneindig
LImiet gaat dus naar 0
\( 0 < 1 \)
dus volgens Cauchy: abs.conv.
kan dit kloppen?