[wiskunde] Goniometrie in differentiaalvergelijking

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 02-12-'13, 17:48

komposterbart

Berichten: 8

Goniometrie in differentiaalvergelijking

Ik was bezig met differentiaalvergelijkingen, het is een 2de orde lineaire inhomogene vergelijking. Dus moest ik met een probeerfunctie aan de slag.

Ik begon met de homogene oplossing en stuitte tegen het volgende probleem(zie toevoeging)

Ik snap niet hoe ze de goniometrische omschrijving doen van B1cos(t)+B2sin(t) naar C(cos t + phie). Kan hier ook geen regels over vinden?

Bij voorbaat dank
Bijlagen
Vraagstuk dv.jpg
Vraagstuk dv.jpg (42.5 KiB) 743 keer bekeken
Omhoog

Bericht 02-12-'13, 18:23

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Goniometrie in differentiaalvergelijking

Waar is de opgave ...
Omhoog

Bericht 02-12-'13, 18:25

tempelier

Gebruikersavatar
Berichten: 4.320

Re: Goniometrie in differentiaalvergelijking

Probeer de omgekeerde weg.

Dus ga van het resultaat uit, dat loopt tamelijk eenvoudig.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.
Omhoog

Bericht 02-12-'13, 18:26

komposterbart

Berichten: 8

Re: Goniometrie in differentiaalvergelijking

Safe schreef: ↑ma 02 dec 2013, 18:23
Waar is de opgave ...
De opgave snap ik, maar het ging puur om deze stap dus dacht hou het to the point.
Omhoog

Bericht 02-12-'13, 18:35

komposterbart

Berichten: 8

Re: Goniometrie in differentiaalvergelijking

tempelier schreef: ↑ma 02 dec 2013, 18:25
Probeer de omgekeerde weg.

Dus ga van het resultaat uit, dat loopt tamelijk eenvoudig.
Bedankt voor de hint. Maar ik mis echt de regel die hier bij past of is het een bepaalde gedachtesprong die hier mist?
Omhoog

Bericht 02-12-'13, 18:44

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Goniometrie in differentiaalvergelijking

komposterbart schreef: ↑ma 02 dec 2013, 18:26
De opgave snap ik, maar het ging puur om deze stap dus dacht hou het to the point.


Geef toch de opgave maar ...
Omhoog

Bericht 02-12-'13, 19:01

komposterbart

Berichten: 8

Re: Goniometrie in differentiaalvergelijking

Ok de opgave is om de algemene oplossing te vinden voor de volgende differentiaal vergelijking(zie bijlage)
Bijlagen
Dv.jpg
Dv.jpg (59 KiB) 738 keer bekeken
Omhoog

Bericht 02-12-'13, 19:21

tempelier

Gebruikersavatar
Berichten: 4.320

Re: Goniometrie in differentiaalvergelijking

komposterbart schreef: ↑ma 02 dec 2013, 18:35
Bedankt voor de hint. Maar ik mis echt de regel die hier bij past of is het een bepaalde gedachtesprong die hier mist?
cos(x+y) = cos x cos y - sin x sin y

Zonder deze regel wordt het lastig.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.
Omhoog

Bericht 03-12-'13, 08:45

Westy

Gebruikersavatar
Berichten: 581

Re: Goniometrie in differentiaalvergelijking

TIP: begin eens andersom, vertrek van de eindformule in jouw post, en gebruik dan de somformule van de cosinus, zoals tempelier ze gaf, en zie dan eens wat A en B zouden kunnen zijn...
---WAF!---
Omhoog

Bericht 03-12-'13, 13:55

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: Goniometrie in differentiaalvergelijking

Ik snap niet hoe ze de goniometrische omschrijving doen van B1cos(t)+B2sin(t) naar C(cos t + phie).
Grafisch geinspireerde aanpak. Aanschouw:
Driehoek.png
Driehoek.png (5.89 KiB) 741 keer bekeken
Begin met een rechthoekige driehoek met zijden
\(B_1\)
en
\(B_2\)
. De groene hoek noem ik
\(\beta\)
. De lengte van de horizontale lijn van de bovenste driehoek is:
\(C \cos(\beta)\)
waarbij C de schuine zijde is van de bovenste driehoek (heb ik er helaas niet bijgezet en heb ik nu geen zin om dat aan te passen).

De rode hoek noem ik
\(\alpha\)
. Voor de horizontale lijn geldt nu:
\(B_2 \sin(\alpha) + B_1 \cos(\alpha)\)
Er geldt dus:
\(S \cos(\beta) = B_2 \sin(\alpha) + B_1 \cos(\alpha)\)
De blauwe hoek noem ik
\(\gamma\)
. Deze hoek is vastgelegd door het feit dat het een hoek is van een rechthoekige driehoek met zijdes
\(B_1\)
en
\(B_2\)
. Er geldt:
\(\gamma - \beta = \frac{\pi}{2} - \alpha\)
dus:
\(\beta-\gamma = \alpha - \frac{\pi}{2} \rightarrow \beta = \alpha - \frac{\pi}{2} + \gamma\)
dus:
\(C \cos(\alpha - \frac{\pi}{2} + \gamma) = B_2 \sin(\alpha) + B_1 \cos(\alpha)\)
Substitutie:
\(C \cos(t + \phi) = B_2 \sin(t) + B_1 \cos(t)\)
Waarmee bewezen is dat het klopt.
Omhoog

Bericht 04-12-'13, 18:42

komposterbart

Berichten: 8

Re: Goniometrie in differentiaalvergelijking

EvilBro schreef: ↑di 03 dec 2013, 13:55
Grafisch geinspireerde aanpak. Aanschouw:

[attachment=14566:Driehoek.png]

Begin met een rechthoekige driehoek met zijden
\(B_1\)
en
\(B_2\)
. De groene hoek noem ik
\(\beta\)
. De lengte van de horizontale lijn van de bovenste driehoek is:
\(C \cos(\beta)\)
waarbij C de schuine zijde is van de bovenste driehoek (heb ik er helaas niet bijgezet en heb ik nu geen zin om dat aan te passen).

De rode hoek noem ik
\(\alpha\)
. Voor de horizontale lijn geldt nu:
\(B_2 \sin(\alpha) + B_1 \cos(\alpha)\)
Er geldt dus:
\(S \cos(\beta) = B_2 \sin(\alpha) + B_1 \cos(\alpha)\)
De blauwe hoek noem ik
\(\gamma\)
. Deze hoek is vastgelegd door het feit dat het een hoek is van een rechthoekige driehoek met zijdes
\(B_1\)
en
\(B_2\)
. Er geldt:
\(\gamma - \beta = \frac{\pi}{2} - \alpha\)
dus:
\(\beta-\gamma = \alpha - \frac{\pi}{2} \rightarrow \beta = \alpha - \frac{\pi}{2} + \gamma\)
dus:
\(C \cos(\alpha - \frac{\pi}{2} + \gamma) = B_2 \sin(\alpha) + B_1 \cos(\alpha)\)
Substitutie:
\(C \cos(t + \phi) = B_2 \sin(t) + B_1 \cos(t)\)
Waarmee bewezen is dat het klopt.
Ja! Heel erg bedankt voor de moeite en de hulp!
Omhoog

Bericht 06-12-'13, 10:11

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Goniometrie in differentiaalvergelijking

Begrijp je nu dit onderdeel?

Stel dat je deze stap niet maakt, kan je dan de opgave toch oplossen? Maw is het absoluut noodzakelijk dat je deze stap begrijpt?
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”