Springen naar inhoud

e-macht van een matrix


  • Log in om te kunnen reageren

#1

SDR

    SDR


  • 0 - 25 berichten
  • 2 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 07 december 2013 - 17:36

Ik heb een deel van een college gemist, en nu heb ik geen flauw idee wat ik moet doen bij de volgende opdracht, hulp word zeer gewaardeerd :)

R: R^3 -> R^3 is een draaiing over een hoek pi/2 om de as l = span(1,2,-2)T, gezien vanaf het punt (1,2,-2) op l. We kunnen de standaardmatrix van R schrijven als e^J*pi/2 voor zekere matrix J.

a Bepaal zo'n matrix J
b Bereken e^J*pi/2 expliciet

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

JorisL

    JorisL


  • >250 berichten
  • 555 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 december 2013 - 13:25

Wat zegt je cursus daarover? Ik verwacht dat die toch iets zal zeggen over dit punt.
Verder een hint; "Brook Taylor"

#3

SDR

    SDR


  • 0 - 25 berichten
  • 2 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 08 december 2013 - 14:30

Ja het stuk van rotatiematrices heb ik wel meegekregen, dat was een ander college. Maar alles met e-machten heb ik gemist. In de reader staat het ook wel uitgelegd, maar ook niet erg duidelijk vind ik. Ik zie ook niet hoe ik deze twee dingen kan combineren om dit probleem op te lossen, en ik kan nergens een voorbeeld vinden ook niet op het internet.

#4

descheleschilder

    descheleschilder


  • >1k berichten
  • 1165 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 december 2013 - 15:40

Ik hoop dat je hier iets aan hebt:
De generatoren voor een rotatie zijn de zijn de hoekmoment operatoren. Deze zijn (in matrix vorm):
Jx: 0 0 0
0 0 -i
0 i 0

Jy: 0 0 i
0 0 0
-i 0 0

Jz: 0 -i 0
i 0 0
0 0 0

Er geldt: Rn(θ)=eiJ•θ=eiJnθ, waarin n de as is waarom de rotatie plaatsvindt, en θ de hoek van de rotatie (in jouw geval π/2). J is een vector met als componenten de drie bovengenoemde matrices.
Probeer hiermee de eerste opgave eens op te lossen.

Wat betreft de tweede opgave:
eiJzθ=1 + iJzθ – Jz2θ2/2! – iJz3θ3/3! + ...

Deze relatie volgt uit de formule voor infinitesimale rotaties, met behulp van de generator voor een rotatie om de z-as (vandaar de term "generator"). Voor eindige rotaties om de z-as geldt dan:
Rz(θ)=[Rz(δθ)]N (N naar oneindig)
=(1 + iJzδθ)N
=(1 + iJzθ/N)N
=eiJzθ hetgeen weer volgt uit (limiet n naar oneindig) (1 + x/n)n=ex. Ik neem aan dat je bekend bent met een reeksontwikkeling voor ex waaruit bovenstaande expliciete formule volgt.

Probeer het hier eens mee.
Veel succes, en hopelijk vul je het gaatje...
Groetjes, descheleschilder

Veranderd door descheleschilder, 08 december 2013 - 19:40

Ik lach en dans, dus ik ben; bovendien blijft ondanks de wetenschap het mysterie bestaan!

#5

descheleschilder

    descheleschilder


  • >1k berichten
  • 1165 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 december 2013 - 19:48

Een kleine aanvulling, die ik niet gedaan kon krijgen door het schrijven te bewerken: N wordt verondersteld naar oneindig te gaan, evenals de n in de formule voor e^x.
Bovendien ben ik er niet helemaal zeker van of de as n waar omheen gedraaid wordt genormeerd is of niet.

Veranderd door descheleschilder, 08 december 2013 - 19:50

Ik lach en dans, dus ik ben; bovendien blijft ondanks de wetenschap het mysterie bestaan!





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures