[wiskunde] Directe formule

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 12-12-'13, 22:18

Beresteyn

Gebruikersavatar
Berichten: 967

Directe formule

Ik krijg om de een of andere reden deze recursieve formule niet naar de directe formule :oops: :

Un = 5 · Unn-1-10 met U0= 6

Ik wil m.b.v. de directe formule de 4e term (U3) berekenen.
"In biotech moet je soms dingen doen waarvan anderen zeggen dat het onmogelijk is."

Henri A. Termeer (1946-2017)
Omhoog

Bericht 13-12-'13, 11:09

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: Directe formule

Ik zie even niet hoe je dit gestructureerd aan kan pakken. Echter, als je het zo bekijkt:
\(U_n = 5 U_{n-1} - 10 = 5 (5 U_{n-2} - 10) - 10 = 5^2 U_{n-2} - 10 (1+5)\)
\(= 5^2 (5 U_{n-3} - 10) - 10 (1+5) = 5^3 U_{n-3} - 10 (1+5+25)\)
Ik constateer het volgende patroon:
\(U_n = 5^k U_{n-k} - 10 \sum_{m=0}^{k-1} 5^m = 5^k U_{n-k} - 10 \frac{1 - 5^k}{1-5}\)
Kies nu k=n en je hebt je directe formule.
Omhoog

Bericht 13-12-'13, 11:49

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Directe formule

Zo ongestructureerd is dat toch niet? Je kan die formule (nu je een kandidaat hebt) bewijzen met inductie.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 13-12-'13, 12:18

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: Directe formule

Tja... ik bedoel met ongestructureerd meer dat je redelijk afhankelijk bent van je eigen inzicht. Als je het patroon in dit geval niet herkent dan heb je een probleem (Het is geen kwestie van stug doorwerken).

Ik had trouwens ook nog de volgende ingeving (vind ik eigenlijk beter):
\(U_n = 5 U_{n-1} - 10\)
\(U_n - 5 U_{n-1} + 10 = 0\)
\(U_n - 5 U_{n-1} - \frac{5}{2} + 5 \frac{5}{2} = U_n - \frac{5}{2} - 5 (U_{n-1} - \frac{5}{2}) = 0\)
\(V_n - 5 V_{n-1} = 0\)
De oplossing voor deze formule is vrij standaard. Met je oplossing V kun je dan de oplossing voor U vinden.
Omhoog

Bericht 13-12-'13, 23:45

Anton_v_U

Berichten: 1.617

Re: Directe formule

De standaardmethode voor het oplossen van lineaire differentievergelijkingen loopt via de z-transform. De z-transform is de tijd-discrete versie van de Laplace transformatie die wordt gebruikt voor het oplossen van lineaire differentiaalvergelijkingen.

http://en.wikipedia.org/wiki/Z-transform
Omhoog

Bericht 14-12-'13, 13:24

mathfreak

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 3.505

Re: Directe formule

Stel Unn-1 = a, wat geldt er dan voor Un?
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel
Omhoog

Bericht 14-12-'13, 13:45

Beresteyn

Gebruikersavatar
Berichten: 967

Re: Directe formule

Ik hoef formules als deze
Un = 5 · Unn-1-10 met U0= 6
nu nog niet om te bouwen naar een directe formule. Zonder die 5, moet ik 'm wel kunnen oplossen zonder GR, maar in dit geval mag ik menu 8 (recursion) gebruiken. Toch bedankt voor de moeite iedereen!
"In biotech moet je soms dingen doen waarvan anderen zeggen dat het onmogelijk is."

Henri A. Termeer (1946-2017)
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”