\(u(t) = e^{-\frac{r}{V} \cdot t}\)
\(v(t) = r \cdot c\)
\((u * v)(t) = \int_{0}^{t} u(t-\tau) \cdot v(\tau) d\tau\)
Invullen:
\(\int_{0}^{t} e^{-\frac{r}{V} \cdot (t-\tau)} \cdot r \cdot c d\tau = r \cdot c \cdot \int_{0}^{t} e^{-\frac{r}{V} \cdot (t-\tau)} d\tau = r \cdot c \cdot \int_{0}^{t} e^{-\frac{r}{V} \cdot t} \cdot e^{\frac{r}{V} \cdot \tau} d\tau\)
\(= r \cdot c \cdot e^{-\frac{r}{V} \cdot t} \cdot \int_{0}^{t} e^{\frac{r}{V} \cdot \tau} d\tau = r \cdot c \cdot e^{-\frac{r}{V} \cdot t} \cdot \left(\frac{V}{r} \cdot e^{\frac{r}{V} \cdot t}-\frac{V}{r} \cdot e^{\frac{r}{V} \cdot 0} \right) \)
\(= c \cdot V \cdot \left(1 - e^{-\frac{r}{V} \cdot t} \right) \)
En dit is het antwoord dat jij had gevonden. Het staat alleen niet in convolutievorm.
