Springen naar inhoud

Limiet van een functie = functie van de limiet?


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Flisk

    Flisk


  • >1k berichten
  • 1270 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 23 december 2013 - 20:18

Klopt het volgende?
f en g zijn beide continu.
LaTeX
Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

JorisL

    JorisL


  • >250 berichten
  • 555 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 december 2013 - 21:12

Alleen als de limieten bestaan en eindig zijn.

#3

Flisk

    Flisk


  • >1k berichten
  • 1270 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 24 december 2013 - 16:44

Voor de geïnteresseerden, ik heb er een bewijsje voor gemaakt.
Voorwaarde:
f is continu in c en g is continu in f van c.

Dus er geldt volgens de definitie van continuïteit:
(continuïteit van f)
LaTeX
LaTeX (Dit noemen we uitdrukking (1) en hebben we op het einde nog nodig.)
en
(continuïteit van g)
LaTeX


We weten volgens de LaTeX definitie van limieten dat die laatste uitdrukking gelijk is aan:
LaTeX

Volgens de continuiteït van f in c geldt er ook dat:
LaTeX

Daar dit geldt voor elke LaTeX , geldt dit ook voor LaTeX .
M.a.w., voor elke LaTeX , bestaat er een LaTeX , waarvoor men een LaTeX kan vinden zodat LaTeX
of dus
LaTeX

Wat volgende uitdrukking geeft:
LaTeX

Deze uitdrukking is gelijk aan LaTeX
We zien dat het rechterlid hiervan gelijk is aan het rechterlid van uitdrukking (1).
De linkerleden zijn dus ook gelijk aan elkaar:
LaTeX
Waarmee het gevraagde bewezen is. LaTeX

Veranderd door Flisk, 24 december 2013 - 16:46

Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.

#4

Anton_v_U

    Anton_v_U


  • >1k berichten
  • 1620 berichten
  • Validating

Geplaatst op 24 december 2013 - 18:15

In het algemeen klopt de stelling niet. Je moet er nog iets bij roepen over het bereik van de functies f en g en met name over het bestaan van de limieten zoals Joris al opmerkt.

Over je bewijs.
Als extra aanname poneer je: f continu in c en g continu in f( c)
Maar dan mag je de limieten weglaten en dan is de stelling triviaal.

Maar ik ben geen wiskundige, misschien zeg ik nu wel heel enge dingen in de ogen van wiskundigen...
Het is toch zo dat als f(x) continu is in c dat dan de limiet voor x-> c van f(x) per definitie gelijk is aan f( c)?
Of moet je dat zelfs nog bewijzen?

Veranderd door Anton_v_U, 24 december 2013 - 18:16


#5

Flisk

    Flisk


  • >1k berichten
  • 1270 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 25 december 2013 - 00:20

De limieten zomaar weglaten lijkt mij onverstandig, hoe zou je dan die stelling kunnen bewijzen? De stelling gaat net over limieten, dus als je ze weglaat krijg je triviale dingen zoals f(x)=f(x).
Het is inderdaad per definitie zo dat de limiet voor x->c van f(x) gelijk is aan f( c). Dat is ook hetgeen ik gebruik helemaal in het begin van mijn bewijs. Dit moet niet bewezen worden want dit is de definitie van een continue functie.
Aan de hand van de definitie van een limiet kan men dan de stelling bewijzen.

Het moeilijkste gedeelte is van LaTeX over gaan naar LaTeX . Dit is eigenlijk de kern van het hele bewijs. Het is niet omdat iets triviaal lijkt dat het ook waar is, wiskunde kan vaak onverwacht uit de hoek komen, daarom wou ik het wel zeker weten.

Volgend voorbeeld is een reden waarom ik dit wou uitpluizen, je zoekt dus de limiet L, a is een constante. De vraag is hoe de limiet er uitziet i.f.v. a.
LaTeX
Hier kun je dus die vervelende LaTeX uit de macht van die cosinus krijgen.
Het is dus een zeer krachtige tool in het vereenvoudigen en uitrekenen van limieten.

Veranderd door Flisk, 25 december 2013 - 00:31

Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.

#6

Anton_v_U

    Anton_v_U


  • >1k berichten
  • 1620 berichten
  • Validating

Geplaatst op 25 december 2013 - 01:26

Als f(x) continu is in x=c dan is de limiet voor f(x) als x-> c gelijk aan f( c). We slopen dus de rechter limiet er uit.
Als g continu is in f( c) dan kan die linker limiet ook er uit om dezelfde reden.

Dan blijft er iets triviaals over: g(f( c) = g(f( c)) waarbij f gedefinieerd is in c en g in f( c)). So be it.
Als je dit niet correct vindt moet je uitleggen waarom ik de limieten niet mag vervangen door iets dat er aan gelijk is.

De stelling klopt dus - nou ja, hij klopt onder de voorwaarde die je in het bewijs er bij verzint - maar dat het dan klopt is nogal triviaal.

Verder is cos(0)=1 en 0a=0 (reële a) en 10=1 dus de functie onder de limiet bestaat gewoon voor x=0 en je kunt dus de limiet weglaten of ga ik nu te kort door de bocht?

Veranderd door Anton_v_U, 25 december 2013 - 01:41


#7

Flisk

    Flisk


  • >1k berichten
  • 1270 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 25 december 2013 - 05:10

In het rechterlid kan je inderdaad de limiet gewoon 'slopen', dat doe ik ook in het begin:

LaTeX


LaTeX

Merk op dat er in de rechterleden geen limiet meer staat.
Dit 'slopen' van de limiet mag omdat het rechtstreeks volgt uit de definitie van continuïteit van de functie f.

Maar in dat linkergedeelte, mag je volgens de definitie, en de gegeven voorwaarden, dit niet zomaar doen. Omdat we enkel weten dat g continu is, mogen we enkel stellen dat:
LaTeX
en niet dat:
LaTeX
Zie je het verschil? het is vrij subtiel, maar dit neemt niet weg dat het moet bewezen worden.
Ik had f(x) evengoed x2 en f(c ) evengoed c2 kunnen noemen.
In de stelling spreekt men echter van één enkele x en c, die dezelfde is in linker-en rechterlid.

In verband met het voorbeeldje, je gaat inderdaad te kort door de bocht. Als a negatief is krijg je een onbepaaldheid, nl LaTeX .
De uitwerking maakt gebruik van deze stelling maar is vrij lang om uit te typen in latex, als je geïnteresseerd bent, wil ik hem gerust plaatsen.

De uitkomst is alvast volgende:
Voor a=2, is de limiet gelijk aan LaTeX ,
Voor a>2, is de limiet gelijk aan LaTeX ,
Voor a<2, is de limiet gelijk aan LaTeX ,

Veranderd door Flisk, 25 december 2013 - 05:26

Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.

#8

Anton_v_U

    Anton_v_U


  • >1k berichten
  • 1620 berichten
  • Validating

Geplaatst op 25 december 2013 - 12:40

Omdat we enkel weten dat g continu is, mogen we enkel stellen dat:
LaTeX


en niet dat:
LaTeX
Zie je het verschil?


Ja je kunt inderdaad bewijzen dat dit hetzelfde is. Bij nader inzien niet eens zo'n gek idee. Toch laat zoiets bij mij de smaak achter van "wiskundige haarkloverij" maar dat zegt meer over mij (ingenieursachtergrond) dan over jouw bewijs.

Toen ik wilde formuleren waarom het zo logisch was, ging ik als vanzelf redeneren in de lijn van jouw bewijs (omgeving van δx rond c voor f wordt een omgeving die lijkt op δx f ' ( c) voor g etc. Ja dat is slordig want nu neem ik differentieerbaarheid aan maar een ingenieur mag dat ;) ). Je hebt dus eigenlijk wel gelijk met je benadering.

De uitkomst is alvast volgende:
Voor a=2, is de limiet gelijk aan LaTeX

,
Voor a > 2, is de limiet gelijk aan 1,
Voor a < is de limiet gelijk aan 0,


De limiet kun je bepalen met reeksontwikkeling van cos(x) en ln(1+x). Dat leidt tot: Ln(L) = lim (-1/2 xa+2)
In jouw bovenbeschreven oplossing moet je dus a=2 vervangen door a=-2.

Grappig gedrag. Ik heb 't nog numeriek gechekt met Excell en het klopt helemaal, alleen in de buurt van a=-2 wordt de rekenmachine (begrijpelijk) nogal numeriek instabiel.

In m'n bovenstaande post ging ik uit van positieve a, maar da's niet helemaal slim.

Veranderd door Anton_v_U, 25 december 2013 - 14:21


#9

Flisk

    Flisk


  • >1k berichten
  • 1270 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 25 december 2013 - 14:31

Ja sorry, er moet overal -2 ipv 2 staan :o . Wat ik ook niet vermeld heb, is dat voor a<-2, de limiet enkel geldt als men 0 nadert langs rechts.

Aan die taylorontwikkeling had ik niet gedacht! kan nog heel erg handig zijn.
Ik vraag me wel af hoe je dan merkt dat enkel de rechterlimiet bestaat in sommige gevallen.


Dat terzijde: zo heb ik het opgelost (verder gezet vanaf post 5):
LaTeX
Nu tweemaal l'Hopital toepassen (want invullen geeft twee keer 0/0).
LaTeX
dus
LaTeX
Waaruit je het resultaat rechtstreeks kunt aflezen dmv invullen. x mag niet negatief genaderd worden, want dan valt dat eerste minteken weg en krijg je LaTeX ipv LaTeX

Ik vind het wel interessant dat het resultaat in functie van a totaal niet continu is. Je krijgt de constante functie 0, in het punt a=-2 springt men naar LaTeX en daarna springt de functie naar een constante functie 1.
Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.

#10

Anton_v_U

    Anton_v_U


  • >1k berichten
  • 1620 berichten
  • Validating

Geplaatst op 25 december 2013 - 15:48

Ik vraag me wel af hoe je dan merkt dat enkel de rechterlimiet bestaat in sommige gevallen.


Ik had dit nog niet opgemerkt, maar na reeksontwikkeling van ln(L) en weer machtsverheffen staat er:

L = lim exp(-1/2 . xa+2) Voor a< -2 te schrijven als:
L = lim exp(-1/2 . x-p) met p>0

Deze limiet bestaat alleen als x van boven nul nadert (min oneindig in de exponent -> L=0)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures