\( 1 \leq \frac{ (\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2} + ... + \sqrt{x_n} )^2}{ x_1 + x_2 + ... + x_n} \leq n\)
De eerste ongelijkheid lijkt me simpel:\( \frac{ (\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2} + ... + \sqrt{x_n} )^2}{ x_1 + x_2 + ... + x_n} = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n + \epsilon }{x_1 + x_2 + ... + x_n} \geq 1,\)
met \( \epsilon \geq 0\)
(alle producten)Echter, de andere kant gaat mij niet zo makkelijk af. Ik heb even wat gespeeld met de getallen en zie dat voor
\( x_1 = x_2 = ... = x_n \)
de functie een maximum aandoet, en wel waarde n. Als ik nu zou kunnen laten zien dat dit het globale maximum is, dan ben ik klaar. Ik zou dan bovenstaande functie naar elke variabele moeten differentieren en die allemaal gelijkstellen aan 0. Als ik dat doe kom ik uit op:\( x_i = \frac{\sum_{\neq i} x_j}{\sum_{\neq i} \sqrt{x_i}}. \)
Nu krijg ik het niet omgeschreven zodanig dat \( x_1 = x_2 = ... x_n \)
.Kan iemand mij vertellen hoe dit te doen? Of heeft iemand een idee dit probleem anders aan te pakken? bvd
