[wiskunde] Functie met een vrije parameter

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 11-01-'14, 18:12

DScholte

Berichten: 6

Functie met een vrije parameter

Hallo allemaal,

Ik heb de volgende vraag:

Gegeven is de familie van functies:f(x)=sin^3(x)+p*sin(x) met domein (0, pi).

Vraag: Voor welke waarden van p geldt dat het minimum van f(x) gelijk is aan -1/4.

Waarschijnlijk is het heel simpel op te lossen maar ik ben al een tijdje uit deze stof.

Alvast heel erg bedankt voor de moeite! :D
Omhoog

Bericht 11-01-'14, 18:31

mathfreak

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 3.505

Re: Functie met een vrije parameter

Stel om te beginnen de afgeleide nul. Dit levert een bepaalde waarde van x op, waarbij de functiewaarde - ¼ is.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel
Omhoog

Bericht 11-01-'14, 18:55

DScholte

Berichten: 6

Re: Functie met een vrije parameter

Dat klopt inderdaad die afgeleide had ik opgesteld. Tot hier was ik gekomen:

f'(x)= cos(x)(3sin2(x)+p)=0

Dus:

cos(x)=0 of 3sin2(x)+p=0

Nu bleek er bij x= pi/2 een maximum te zitten vanwege die cos(x)=0 maar voor de minima(2 in het domein) moet je dus die andere vergelijking oplossen. Maar hoe doe ik dat dan precies is eigenlijk mijn vraag want ik kan geen waarde voor x berekenen omdat p nog onbekend is.

Ik heb het trouwens al wel in mathematica uitgevoerd ;)

en er moet pi/6 en 5pi/6 uit komen(de x-waarden van de minima) maar hoe kom ik daar nou precies op?
Omhoog

Bericht 11-01-'14, 19:31

DScholte

Berichten: 6

Re: Functie met een vrije parameter

Ik ben inmiddels weer een stukje op weg:

Maar ik heb dus het probleem dat ik geen mooie, makkelijk oplosbare algebraische vergelijking krijg. In de bijgevoegde afbeelding is ook te zien dat ik voor p oplos met mathematica maar hoe doe ik dit door gewoon algebra te gebruiken?
Bijlagen
pepijn(0.2).JPG
pepijn(0.2).JPG (57.72 KiB) 297 keer bekeken
Omhoog

Bericht 11-01-'14, 20:02

DScholte

Berichten: 6

Re: Functie met een vrije parameter

Voor de geinteresseerde, ik heb het inmiddels opgelost: zie afbeelding. Als iemand een elegantere manier weet hoor ik het graag. :D
Bijlagen
opgave 26 0.1.JPG
opgave 26 0.1.JPG (59.71 KiB) 300 keer bekeken
Omhoog

Bericht 12-01-'14, 11:50

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Functie met een vrije parameter

Je opl is prima, maar kan korter ...

Bedenk het volgende:
\(\sin^2(x)=\frac{-p} 3\)
dus met de eis dat min f(x)=-1/4
\(f(x)=\sin(x)(\sin^2(x)+p)=-\frac 1 4\)
er volgt:
\(f(x)=\sqrt{\frac{-p} 3}\cdot \frac 2 3 p=-\frac 1 4\)
\(p\sqrt{\frac{-p} 3}=-\frac 3 8\)
kwadrateren geeft:
\(p^2\cdot -\frac p 3=\frac{9}{64}\)
enz

Ga nog na dat dit inderdaad een min is, hoe doe je dat?
Omhoog

Bericht 12-01-'14, 22:06

DScholte

Berichten: 6

Re: Functie met een vrije parameter

Dat geeft inderdaad wel een stuk minder rommel. Die controle idd gewoon kijken of je oplossing aan de oorspronkelijke vergelijking voldoet! Dankjewel
Omhoog

Bericht 12-01-'14, 22:12

Flisk

Gebruikersavatar
Berichten: 1.264

Re: Functie met een vrije parameter

DScholte schreef: ↑zo 12 jan 2014, 22:06
Die controle idd gewoon kijken of je oplossing aan de oorspronkelijke vergelijking voldoet! Dankjewel
Hoe weet je dan het verschil tussen een minimum en maximum? Beide zullen aan de vergelijking voldoen.

Je kijkt best hoe de afgeleide zich gedraagt rond het punt.

In het geval van een minimum, wat weet je bijvoorbeeld over de afgeleide net links en net rechts van het minimum?
Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.
Omhoog

Bericht 12-01-'14, 22:42

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Functie met een vrije parameter

DScholte schreef: ↑zo 12 jan 2014, 22:06
Die controle idd gewoon kijken of je oplossing aan de oorspronkelijke vergelijking voldoet!


Kan je ook een tekenschema van f'(x) maken ...
Omhoog

Bericht 14-01-'14, 20:09

DScholte

Berichten: 6

Re: Functie met een vrije parameter

Bedankt voor de hulp, zo'n tekenschema is idd wel makkelijk!
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”