Springen naar inhoud

[Wiskunde] Bewijs dat 2^(1/3) bestaat


  • Log in om te kunnen reageren

#1

TomMe

    TomMe


  • >25 berichten
  • 71 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 januari 2006 - 18:42

Vandaag las ik in het boekje Pythagoras van september 2005 op p.31 een bewijs voor de stelling dat de 3-de machtswortel van 2 bestaat. Maar het bewijs riep toch wat vragen op. Het gaat als volgt:

Beschouw de verzameling A = {x | x :? 0 en x3 < 2}

A is niet leeg want 0 :) A.
A heeft een bovengrens, bv 2 en dus ook een kleinste bovengrens, noem deze a. (hier ben ik niet volledig mee, maar dit neem ik aan)
Dus :D x :P A: x :roll: a en (b>a => :D x :P A: x > b).

Nu geldt volgende formule: y3 - x3 = (y - x)(y≤ + yx + x≤)

Stel 0<x<y<2 dan geldt:
y3 - x3 = (y - x)(y≤ + yx + x≤) < (y - x)(4 + 4 + 4) = 12(y - x)

(1) Neem nu x :) A, dus ik veronderstel dat men bedoelt 0<x<a<2
=> a3 < x3 + 12(a - x) => a3 < 2 + 12(a - x)

Aangezien men (a - x) zo klein kan nemen als men wil, volgt hieruit dat a3 :P 2

(2) Neem nu a<y, dus ik veronderstel dat men bedoelt 0<a<y<2
=> y3 - a3 < 12(y - a)
=>a3 > y3 - 12(y - a)
en aangezien y :P A => y3 :P 2
=>a3 > 2 - 12(y - a)

Aangezien men (y - a) zo klein kan nemen als men wil, volgt hieruit dat a3 :P 2

=> a3 = 2 en dus a is de 3-de machtswortel van 2.

Mijn vraag:
in (1): Men sluit uit dat (x - a) = 0, zonder dat men dit duidelijk maakt op een formele manier. Ik weet dat dit niet kan omdat bovengrens a niet tot A behoort, maar hoe kan ik dit formeel afleiden uit de gegevens?
Het feit dat men de vgl x :? a hanteert om duidelijk te maken dat a een bovengrens is, maakt het er niet duidelijker op.

Graag wat hulp.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 januari 2006 - 19:00

Beschouw de verzameling A = {x | x :P 0 en x3 < 2}

A is niet leeg want 0 :roll: A.
A heeft een bovengrens, bv 2 en dus ook een kleinste bovengrens, noem deze a. (hier ben ik niet volledig mee, maar dit neem ik aan)

Wanneer een niet-lege verzameling een maximum heeft, dan is dit maximum de kleinste bovengrens (en tevens het supremum). Het kan zijn dat een verzameling geen maximum heeft, maar wel een kleinste bovengrens, dit is dan het supremum (maar geen maximum). Je kan bewijzen dat elke niet-lege naar boven begrensde verzameling A zo een supremum heeft dus we mogen hier inderdaad aannemen dat er zo'n kleinste bovengrens bestaat.

Mijn vraag:
in (1): Men sluit uit dat (x - a) = 0, zonder dat men dit duidelijk maakt op een formele manier. Ik weet dat dit niet kan omdat bovengrens a niet tot A behoort, maar hoe kan ik dit formeel afleiden uit de gegevens?
Het feit dat men de vgl x :P a hanteert om duidelijk te maken dat a een bovengrens is, maakt het er niet duidelijker op.

Hoezo sluit men uit dat (x-a) zou gelijk kunnen zijn aan 0? Je schreef zelf dat je veronderstelde dat "0<x<a<2" bedoeld werd, maar als er alleen stond dat x in A zat, dan is het mogelijk dat x ook gelijk is aan a, de kleinste bovengrens kan namelijk een element van de verzameling zijn. We weten wel dat dat hier niet het geval is, maar dat 'weten we' op dat moment in het bewijs nog niet. Dus volgens mijn moet je daar veronderstellen 0<x[kleinergelijk]a<2.

#3

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 06 januari 2006 - 20:04

Je kan bewijzen dat elke niet-lege naar boven begrensde verzameling A zo een supremum heeft dus we mogen hier inderdaad aannemen dat er zo'n kleinste bovengrens bestaat.

Hierbij val ik van mijn stoel.
Het is ook algemeen bekend dat x3 = a een oplossing heeft.
Dus valt er niets te bewijzen.QED (Quick En Doortastend)


Stelling:
Dat elke niet-lege naar boven begrensde verzameling A zo een supremum heeft is te bewijzen uit het feit dat x3 = a een oplossing heeft.

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 januari 2006 - 20:19

Stelling:
Dat elke niet-lege naar boven begrensde verzameling A zo een supremum heeft is te bewijzen uit het feit dat x3 = a een oplossing heeft.

Uit het feit dat x3 = a een oplossing heeft volgt toch niet dat elke niet-lege naar boven begrensde verzameling A een supremum heeft? Of kan ik nu niet volgen?
Om dat in het algemeen te bewijzen steun je volgens mij op de volledigheid van de reŽle getallen.

Als het niet daaruit is, waaruit volgt dan "A heeft een bovengrens, bv 2 en dus ook een kleinste bovengrens"?

#5

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 06 januari 2006 - 20:34

Als het niet daaruit is, waaruit volgt dan "A heeft een bovengrens, bv 2 en dus ook een kleinste bovengrens"?

Geen idee. Het bewijs is daardoor een schijnbewijs. Het berust volgens mij op het principe van volledige intimidatie. (Een principe dat ik zelf ook vaak toepas :wink:)

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 januari 2006 - 20:35

Ik begrijp waar je naartoe wil en besef nu ook dat ik daar niet bij stilgestaan heb, maar zonder dat zie ik niet direct in waarmee je dat onderlijnde gedeelte hard kan maken.

Ik twijfel of het toch niet op die manier bedoeld is. Uit het axioma dat :roll: volledig is kan je bewijzen dat elke (niet-lege) verzameling die naar boven begrensd is een supremum heeft. Daarmee heb je nog niet per se (expliciet) aangetoond dat een getal als "de derdemachtswortel uit 2" bestaat, dat zou dan kunnen via een redenering zoals hierboven. Is dat wel een schijnbewijs dan?

#7

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 06 januari 2006 - 21:29

Je kunt zeggen dat onder de aanname dat elke niet-lege naar boven begrensde verzameling een supremum heeft, bewezen is dat
x3=a een oplossing heeft.

Als je bewijs compleet wil maken moet je dat eerste ook even aantonen.
Ik denk niet dat je daar om heen kunt. Het is voor het overige een heel aardig bewijs.

#8

TomMe

    TomMe


  • >25 berichten
  • 71 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 januari 2006 - 21:33

dus we mogen hier inderdaad aannemen dat er zo'n kleinste bovengrens bestaat.


En hoe weet je dat deze "kleinste bovengrens" ook kleiner is dan 2?

Hoezo sluit men uit dat (x-a) zou gelijk kunnen zijn aan 0?


Stel dat x = a. In het boekje zelf staat dan:

a3 < x3 + 12(a - x) < 2 + 12(a - x)

Maar van waar komen die ongelijkheden dan?:

a=x => a3 - x3 = (a - x)(a≤ + ax + x≤) = 12(a - x) en NIET a3 - x3 < 12(a - x)
Zodat men uiteindelijk vindt a3 < 2 (gelijkheid ontbreekt).

Moet je dit dan misschien als apart geval nog eens nagaan?

Voor de rest van de discussie kan ik niet zo goed volgen, zal ze alleszins nog eens een paar keer herlezen. :roll:

#9

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 januari 2006 - 21:42

Je kunt zeggen dat onder de aanname dat elke niet-lege naar boven begrensde verzameling een supremum heeft, bewezen is dat
x3=a een oplossing heeft.

Als je bewijs compleet wil maken moet je dat eerste ook even aantonen.
Ik denk niet dat je daar om heen kunt. Het is voor het overige een heel aardig bewijs.

Dat eerste (elke niet-lege... heeft een supremum) is een redelijk technisch bewijs, maar als dat bewezen is kan je dat m.i. toch gebruiken? Anders zou je bij het bewijzen van elke stelling moeten teruggaan en alle stellingen waar je op steunt ook bewijzen? :wink:

En hoe weet je dat deze "kleinste bovengrens" ook kleiner is dan 2?

De derdemachtswortel uit 2 is +/- 1.25, dus die 2 is ruim gekozen als bovengrens. Het is triviaal niet de kleinste, want 1.9 is er ook ťťn (bijvoorbeeld).

In het geval x = a dan zouden daar enkele ongelijkheiden niet strikt moeten zijn, dat klopt. Ik kijk er dadelijk nog even naar (moet nu even weg).

#10

TomMe

    TomMe


  • >25 berichten
  • 71 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 januari 2006 - 21:51

De derdemachtswortel uit 2 is +/- 1.25, dus die 2 is ruim gekozen als bovengrens. Het is triviaal niet de kleinste, want 1.9 is er ook ťťn (bijvoorbeeld).

Ok!

In het geval x = a dan zouden daar enkele ongelijkheiden niet strikt moeten zijn, dat klopt. Ik kijk er dadelijk nog even naar (moet nu even weg).

Ik kom morgen nog wel eens kijken naar deze draad, dus jaag je niet af.. :wink:

Mvg.

#11

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 06 januari 2006 - 22:27

Dat eerste (elke niet-lege... heeft een supremum) is een redelijk technisch bewijs, maar als dat bewezen is kan je dat m.i. toch gebruiken? Anders zou je bij het bewijzen van elke stelling moeten teruggaan en alle stellingen waar je op steunt ook bewijzen?

Het probleem is dat je iets wilt bewijzen dat iedereen al lang weet met een stelling die vrij abstract en onbekend is bij de lezers.
Wat zou je er van vinden als iemand je een bewijs voorschotelde van de stelling -(-a) = a en daarvoor gebruik maakt van stellingen uit de differentiaalmeetkunde? Daar wringt toch iets.

#12

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 januari 2006 - 22:34

Ja en nee. Het is niet alleen iets dat "iedereen al lang weet", maar het is ook iets waar je (zeker als leek) niet van zou verwachten dat het bewezen moet worden of Łberhaupt bewezen kan worden.
De meeste zaken over deze concepten die misschien ogenschijnlijk elementair lijken steunen op de basisaxioma's van de reŽle getallen die helemaal niet zo triviaal zijn, vandaar misschien dat op het eerste zicht rare contrast.

Neem als voorbeeld het invoeren c.q. opbouwen van de reŽle getallen, iets dat absoluut niet eenvoudig is voor leken in de wiskunde, maar wat wel noodzakelijk is om met de reŽle getallen te werken natuurlijk. Gewoonlijk laten we die technische invoering dan ook achterwege, net zoals we zullen aannemen dat [wortel]2 e.d. bestaan. Het is maar vanaf het moment dat je dat ook formeel wil aantonen, wiskundig wat preciseren, dat de eigenlijke (blijkbaar niet zo triviale) aard duidelijk wordt.

Dat klinkt eigenlijk allemaal een beetje filosofisch, hehe...

#13

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 06 januari 2006 - 22:49

Dat klinkt eigenlijk allemaal een beetje filosofisch, hehe...

Het klinkt helemaal niet filosofisch om kritisch te zijn op wat je aan het doen bent.
Als je zo puntje precies wilt zijn en het bestaan van a1/3 wilt aantonen, dan moet je deste precieser zijn in je bewijs. Het komt op mij knullig over als ik dan een (voor de meeste lezers onbekende en kritiekloos als een vanzelfsprekendheid gebrachte) stelling in het bewijs tegenkom als hierboven besproken.

#14

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 januari 2006 - 23:02

Tja, Ūk wou het bestaan ervan niet per sť aantonen...

Het bewijs maakte zelf sprake van het feit "dat er dan een kleinste bovengrens moest bestaan", iets waar de vragensteller moeite mee had, terecht want het kwam een beetje uit de lucht gevallen. Ik wou alleen maar aangeven dat dat een resultaat uit de analyse is en dat je dat ook kan bewijzen, uitgaande van de volledigheid van :roll:.

Dat het een beetje 'overkill' lijkt om daarmee af te komen voor een dergelijk bewijs ben ik mee akkoord, maar ik vraag me af of je er omheen kunt, ttz zoiets als hierboven aantonen zonder gebruik te maken van die (of aanverwante) stelling(en). Daarnaast is het inderdaad zo dat de meeste lezers weinig of geen notie van die stelling zullen hebben, maar ik betwijfel eigenlijk ook of die gemiddelde lezer feitelijk wel iets aan de stelling in se heeft, bewijzen dat de derdemachtswortel van 2 'bestaat'...

Nu goed, ik weet er het fijne ook niet van - misschien doelde de auteur op iets totaal anders, misschien zoek ik (of zoeken we?) het allemaal te ver - het lijkt mij dat het eerder als 'recreatieve wiskunde' bedoeld werd om het bestaan hiervan aan te tonen, ik ken het blad niet echt waarin het gepubliceerd werd.

#15

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 07 januari 2006 - 13:11

Ik kom morgen nog wel eens kijken naar deze draad, dus jaag je niet af..  :wink:

Volgens mij moet dat daar inderdaad geen strikte ongelijkheid zijn. Ze trekken ook de conclusie dat a≥ :roll: 2 en dat kan alleen als de ongelijkheden daarvoor ook niet strikt waren. Ik *denk* dus dat die voorafgaande regel moet zijn: a≥ :D x≥ + 12(a-x) => a≥ :P 2 + 12(a-x).

Hieruit kan nu wel volgen dat a≥ :D 2 vermits (a-x) willekeurig klein (en dus ook zelfs 0) kan worden.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures