[natuurkunde] cilinder aan veer

angel1995

Het volgende voorbeeld staat in mijn cursus uitgewerkt, maar ik snap een stuk bij de uitwerking niet.

Een volle cilindervormige rol (I_CM = 1/2 MR²) is met zijn as vastgemaakt aan een veer met veerconstante k en rolt zonder te slippen op een horizontaal oppervlak. Bepaal de oscillatiefrequentie van het systeem voor kleine uitwijkingen tov het evenwicht

a) via krachtbeschouwingen

b) via energiebeschouwingen

a) ik snap de uitwerking, maar in een tekstje erboven staat er dat de wrijvingskracht op elk moment aangrijpt in het rotatie-as punt en levert daarom geen draaimoment. Maar dat klopt toch niet de wrijvingskracht grijpt toch aan bij het contactpunt met de grond?

b) 1/2 kx² + 1/2 Iω² + 1/2 Mv² (ω = v/R en I = 1/2 MR² en v = dx/dt)

E = 1/2kx² + 1/4 M(dx/dt)² + 1/2 M(dx/dt)²

= 1/2 kx² + 3/4M(dx/dt)²

behoud van energie betekent dE/dt = 0 of

0 = kx (dx/dt) + 3/2M(dx/dt) (d²x/dt²)

maar waarom verandert x² in x?

Jan van de Velde

a) Ik zie sowieso in de oefening nergens een wrijvingskracht vermeld. Een statische wrijvingskracht tussen rol en oppervlak bestaat (want er is gegeven dat het ding zonder slippen heen en weer rolt). Als je de energie die in de rotatie kruipt als weerstand zou willen zien vind ik dat natuurkundig niet helemaal juist, omdat die energie prima terugwinbaar is (bijvoorbeeld in de vorm van veernergie.

Of en zo ja waar een wrijvingskracht dan aangrijpt en al of niet een moment veroorzaakt lijkt me dus volledig ernaast. Geen idee waar de inhoud van dat tekstje erboven op slaat. Een of andere vervolgvraag hierop? Als er sprake is van rolwrijving dan zal dat zijn op het contactvlak rol/grond, en op de (gelagerde) as.

maar waarom verandert x² in x?

kx is de veerkracht. dx/dt een verandering van uitrekking in de tijd. kx(dx/dt) interpreteer ik dan als een verandering van energie (F·ds, oftewel k·x·dx) in de tijd . Of ik dat wiskundig correct doe ben ik niet helemaal zeker, maar natuurkundig is dit zinnig. Want een zekere verandering van uitrekking kost afhankelijk van de initiële uitrekking meer of minder arbeid. En dus zal dat wiskundig ook wel correct zijn.

angel1995

Jan van de Velde schreef: ↑zo 12 jan 2014, 16:49
a) Ik zie sowieso in de oefening nergens een wrijvingskracht vermeld. Of en zo ja waar die dan aangrijpt en al of niet een moment veroorzaakt lijkt me dus volledig ernaast. Geen idee waar de inhoud van dat tekstje erboven op slaat. Een of andere vervolgvraag hierop? Als er sprake is van rolwrijving dan zal dat zijn op het contactvlak rol/grond, en op de (gelagerde) as.

kx is de veerkracht. dx/dt een verandering van uitrekking in de tijd. kx(dx/dt) interpreteer ik dan als een verandering van energie (F·ds, oftewel k·x·dx) in de tijd . Of ik dat wiskundig correct doe ben ik niet helemaal zeker, maar natuurkundig is dit zinnig. Want een zekere verandering van uitrekking kost afhankelijk van de initiële uitrekking meer of minder arbeid. En dus zal dat wiskundig ook wel correct zijn.

dus het maakt niets uit of het kx of kx² is?

Jan van de Velde

angel1995 schreef: ↑zo 12 jan 2014, 17:08
dus het maakt niets uit of het kx of kx² is?

Dat zeg ik nergens. Tuurlijk is er een verschil tussen een x en een x².

Ik zie ½kx² veranderen in (kx)*(dx/dt) als we van “energie” naar “verandering van energie in de tijd” gaan. ik zie nog steeds twee x-jes met een keerteken ertussen toch? Nogmaals, hoe je dit precies wiskundig moet doen, laat staan uitleggen, no idea, maar natuurkundig klopt het als een bus.

Flisk

Wiskundig gaat dit:

\(dE=Fdx\iff E=\int_a^b kx dx =\frac{1}{2}kx^2\big|_{a}^b\)

Heeft weinig met de tijd te maken. Dit druk de potentiële energie op een bepaalde plek uit. Dus 1/2kx^2 stelt energie voor en kx stelt kracht voor.

Als je de afstand in functie van de tijd wilt hebben, krijg je een tweede orde (al dan niet lineaire) differentiaalvergelijking.

Wat één van je vragen betreft: er is wrijving die energieverlies veroorzaakt. Men wil zeggen dat deze wrijving het draaien van de cilinder niet beïnvloed. Het draaien van de cilinder geeft ook een weerstand, maar die energie wordt opgeslagen in die draaiing. Het draaien van de cilinder is inderdaad een gevolg van een statische wrijvingskracht met de grond, maar hierbij is er geen energieverlies. Het zijn twee verschillende zaken. Het zou bijvoorbeeld wrijving kunnen zijn t.o.v. een fluïdum (luchtweerstand etc...).

Kan je ook de uitwerking van a) posten? Misschien kan ik dan verder helpen.

EDIT:

Ik zie nu vanwaar die 1/2kx^2=kx(dx/dt) komt. Het is vrij logisch, schrijft x als x(t) (afstand i.f.v. de tijd). Als je dat dan afleid naar t:

\(\frac{1}{2}k\frac{d}{dt}(x(t))^2=\frac{1}{2}k2x(t)x'(t)=kx(t)x'(t)\)

Je moet namelijk de kettingregel toepassen.

Intinuïtief uitgelegd: kracht maal afstand is energie, dus kracht maal snelheid is verandering van energie over de tijd.

Wiskundig komt het erop neer dat het integreren (helemaal het begin van mijn post) teniet wordt gedaan door het toepassen van de kettingregel tijdens het afleiden.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[natuurkunde] cilinder aan veer

cilinder aan veer

Re: cilinder aan veer

Re: cilinder aan veer

Re: cilinder aan veer

Re: cilinder aan veer