Springen naar inhoud

De som van 1 t/m oneindig


  • Log in om te kunnen reageren

#1

woodswolf

    woodswolf


  • >25 berichten
  • 78 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 januari 2014 - 23:10

Foei, dat is me toch al gauw weer 6 jaar geleden. De tijd vliegt! Ik ben nog steeds geïnteresseerd in wiskunde, maar meer als een hobby en tijdverdrijf. Ik vond laatst de video van numberphile wel interessant. Ik denk dat jullie wel weten welke ik hiermee bedoel, maar om hem toch even te posten:



Jaren geleden kwam ik zelf achter de ´geniale´ ontdekking dat de som van 1 t/m x opgelost kan worden met de formule: .5X² + .5X. Deze formule is natuurlijk algemeen bekend, maar toch vind ik het interessant om die formule dus andersom op te lossen:

.5X² + .5X = -1/12
X² + X +1/6 = 0

X = -.5 + 1/√12
X = -.5 - 1/√12

Maar dus is oneindig ook een valide input voor X. Wat zijn de implicaties die hierbij horen? Mocht er interesse voor zijn: Discussieer alom!

Veranderd door Raspoetin, 23 januari 2014 - 08:29
Video embedded

There's only one person who can tell Pi, and thats me!

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 23 januari 2014 - 08:39

Maar dus is oneindig ook een valide input voor X.

Wat je hiermee bedoelt, is mij een raadsel. Er is maar één goede invoer voor x, namelijk de waarde die je gevonden hebt. Niet 1, niet 2, niet pi en zeker niet "oneindig". Dat laatste is niet eens een getal, maar gewoon een "symbool". Wat het verband is tussen x² + x + 1/6 = 0 en een reeks, is nog meer een raadsel.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 23 januari 2014 - 09:56

Ik vond laatst de video van numberphile wel interessant.

Tja, ik geloof niet zo in de conclusie die ze daar verkondigen. Mocht jij dat wel doen dan wil ik wel LaTeX euro van jouw lenen (Je mag beginnen met mij gewoon al jouw geld te geven en een briefje met daarop dat ik nog recht heb op de rest). Als je mij daarna nog een briefje geeft dat ik ook nog recht heb op 1/12 euro dan hebben we de lening afgehandeld.

... toch vind ik het interessant om die formule dus andersom op te lossen:

Maar nu doe je dingen die echt niet kunnen:
LaTeX
Wat jij nu aan elkaar gelijk stelt is:
LaTeX
Hierbij zoek je een natuurlijk getal n. Dat ga je natuurlijk niet vinden. Jij vindt:
LaTeX
Wat betekent dat je betekenis toekent aan:
LaTeX
En dat is onzin.

#4

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 23 januari 2014 - 14:44

Zulke grappen kunnen wel wanneer je exotische definities voor de sommen van divergente reeksen gebruikt.

http://en.wikipedia....2_+_3_+_4_+_‚čĮ

http://math.ucr.edu/...er2004/zeta.pdf

Met de gebruikelijke definities is het echter gewoon onzin.

#5

317070

    317070


  • >5k berichten
  • 5567 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 23 januari 2014 - 16:30

Je moet regularisatie gebruiken voordat je inderdaad een resultaat kunt geven aan dergelijke sommen, maar ze hebben wel degelijk veel nut in de fysica. Ze zijn louter een uitbreiding op de klassieke limieten van reeksen.


Zie ook: http://en.wikipedia....1_+_1_+_1_+_‚čĮ
http://en.wikipedia...._regularization
What it all comes down to, is that I haven't got it all figured out just yet
And I've got one hand in my pocket and the other one is giving the peace sign
-Alanis Morisette-

#6

paac

    paac


  • >250 berichten
  • 271 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 februari 2014 - 00:06

Dus een sommatie van Natuurlijke getallen kan een Rationaal getal vormen?

Plan? I don't need a plan, just a goal. The rest will follow on its own.
Clever waste of time: Level 31


#7

317070

    317070


  • >5k berichten
  • 5567 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 15 februari 2014 - 05:45

Dus een sommatie van Natuurlijke getallen kan een Rationaal getal vormen?

Als je de somming maar goed definieert, dan wel.
What it all comes down to, is that I haven't got it all figured out just yet
And I've got one hand in my pocket and the other one is giving the peace sign
-Alanis Morisette-

#8

paac

    paac


  • >250 berichten
  • 271 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 februari 2014 - 11:10

Als je de somming maar goed definieert, dan wel.


Dat bedacht ik me later ook ja, maar dan zou het resultaat ten alle tijden geschreven moeten kunnen worden als Natuurlijk getal?

Verder gebruikt deze methode een ander bewijs
LaTeX

Terwijl het bewijs hiervoor niet eens "werkt" voor elk willekeurig Natuurlijk getal "n" ipv LaTeX .
Alleen voor LaTeX omdat het mooi uit komt...

Plan? I don't need a plan, just a goal. The rest will follow on its own.
Clever waste of time: Level 31


#9

317070

    317070


  • >5k berichten
  • 5567 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 15 februari 2014 - 14:12

Alleen voor LaTeX

omdat het mooi uit komt...

Het klopt dat het enkel werkt voor oneindig, en dat komt omdat ze op een speciale manier naar die oneindig gaan.
Ze sommen namelijk zo:
LaTeX met r en s complexe getallen.

Voor de sommatie 1-1+1-1... wil dit zeggen:
LaTeX
What it all comes down to, is that I haven't got it all figured out just yet
And I've got one hand in my pocket and the other one is giving the peace sign
-Alanis Morisette-

#10

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 15 februari 2014 - 22:23

Analytische uitbreiding geeft vaak een oplossing (zoals hier met de LaTeX functie), echter die truc is doorgaans niet te rechtvaardigen.
De titel "De som van 1 t/m oneindig" toont aan dat het symbool LaTeX fout wordt geinterpreteerd.
LaTeX kun je op velerlei manieren definiëren.
De meest bekende definitie is
LaTeX .
In de Fouriertheorie en in de stochastische speltheorie gebruikt men echter de definitie volgens Cesàro.
Er zijn nog zeer veel meer definities in zwang, zoals die van Abel.
Voor een definitie ga je uit van axioma's, zoals b.v. de eis LaTeX .
Heb je een definitie die aan gestelde axioma's voldoen dan is er geen gevaar voor tegenstrijdigheden.
Als twee definities aan de axioma's voldoen en een reeks convergeert volgens beide definities, dan zijn hun sommen gelijk.
In de tijd van Euler dacht men dat elke reeks een (eindige) limiet had, en dat het slechts een kwestie was van de juiste truc te vinden om een antwoord te vinden. Echter, hoe trager een reeks convergeert, hoe moeilijker het wordt om zijn som te vinden. Dus het is makkelijker om 1+2+4+8+16+... uit te rekenen dan 1+1/2+1/3+... .
Er zijn reeksen waarvoor nog geen eindige som gevonden is (die aan de axioma's voldoet). Een voorbeeld hiervan is 1+1+1+... .
In de natuurkunde wordt inderdaad soms gebruik gemaakt van een andere definitie dan de meest gebruikte.
Een rechtvaardiging wordt daar meestal niet bij gegeven. Er moet een wiskundige rechtvaardiging zijn, maar die is niet altijd eenvoudig te geven.

Veranderd door PeterPan, 15 februari 2014 - 22:24


#11

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 15 februari 2014 - 22:47

Nog even iets over de LaTeX functie.
LaTeX ,
Echter, dan is
LaTeX
Met de LaTeX functie kom je dus in conflict met het axioma dat ik hiervoor noemde.

Veranderd door PeterPan, 15 februari 2014 - 22:51






0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures