De som van 1 t/m oneindig

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Reageer
Berichten: 78

De som van 1 t/m oneindig

Foei, dat is me toch al gauw weer 6 jaar geleden. De tijd vliegt! Ik ben nog steeds geïnteresseerd in wiskunde, maar meer als een hobby en tijdverdrijf. Ik vond laatst de video van numberphile wel interessant. Ik denk dat jullie wel weten welke ik hiermee bedoel, maar om hem toch even te posten:



Jaren geleden kwam ik zelf achter de ´geniale´ ontdekking dat de som van 1 t/m x opgelost kan worden met de formule: .5X² + .5X. Deze formule is natuurlijk algemeen bekend, maar toch vind ik het interessant om die formule dus andersom op te lossen:

.5X² + .5X = -1/12

X² + X +1/6 = 0

X = -.5 + 1/√12

X = -.5 - 1/√12

Maar dus is oneindig ook een valide input voor X. Wat zijn de implicaties die hierbij horen? Mocht er interesse voor zijn: Discussieer alom!
There's only one person who can tell Pi, and thats me!

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: De som van 1 t/m oneindig

Maar dus is oneindig ook een valide input voor X.
Wat je hiermee bedoelt, is mij een raadsel. Er is maar één goede invoer voor x, namelijk de waarde die je gevonden hebt. Niet 1, niet 2, niet pi en zeker niet "oneindig". Dat laatste is niet eens een getal, maar gewoon een "symbool". Wat het verband is tussen x² + x + 1/6 = 0 en een reeks, is nog meer een raadsel.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Berichten: 7.068

Re: De som van 1 t/m oneindig

Ik vond laatst de video van numberphile wel interessant.
Tja, ik geloof niet zo in de conclusie die ze daar verkondigen. Mocht jij dat wel doen dan wil ik wel
\(\sum_{k=1}^\infty k\)
euro van jouw lenen (Je mag beginnen met mij gewoon al jouw geld te geven en een briefje met daarop dat ik nog recht heb op de rest). Als je mij daarna nog een briefje geeft dat ik ook nog recht heb op 1/12 euro dan hebben we de lening afgehandeld.
... toch vind ik het interessant om die formule dus andersom op te lossen:
Maar nu doe je dingen die echt niet kunnen:
\(\sum_{k=1}^n k = \frac{n (n+1)}{2}\)
Wat jij nu aan elkaar gelijk stelt is:
\(\sum_{k=1}^n k = \sum_{k=1}^\infty k\)
Hierbij zoek je een natuurlijk getal n. Dat ga je natuurlijk niet vinden. Jij vindt:
\(n = \frac{-3 \pm \sqrt{3}}{6}\)
Wat betekent dat je betekenis toekent aan:
\(\sum_{k=1}^{\frac{-3 \pm \sqrt{3}}{6}} k\)
En dat is onzin.

Re: De som van 1 t/m oneindig

Zulke grappen kunnen wel wanneer je exotische definities voor de sommen van divergente reeksen gebruikt.

http://en.wikipedia.org/wiki/1_%2B_2_%2 ... _%E2%8B%AF

http://math.ucr.edu/home/baez/qg-winter2004/zeta.pdf

Met de gebruikelijke definities is het echter gewoon onzin.

Gebruikersavatar
Berichten: 5.609

Re: De som van 1 t/m oneindig

Je moet regularisatie gebruiken voordat je inderdaad een resultaat kunt geven aan dergelijke sommen, maar ze hebben wel degelijk veel nut in de fysica. Ze zijn louter een uitbreiding op de klassieke limieten van reeksen.

Zie ook: http://en.wikipedia.org/wiki/1_%2B_1_%2 ... _%E2%8B%AF

http://en.wikipedia.org/wiki/Zeta_funct ... larization
What it all comes down to, is that I haven't got it all figured out just yet

And I've got one hand in my pocket and the other one is giving the peace sign

-Alanis Morisette-

Berichten: 301

Re: De som van 1 t/m oneindig

Dus een sommatie van Natuurlijke getallen kan een Rationaal getal vormen?
Plan? I don't need a plan, just a goal. The rest will follow on its own.

Clever waste of time: Level 31

Gebruikersavatar
Berichten: 5.609

Re: De som van 1 t/m oneindig

Dus een sommatie van Natuurlijke getallen kan een Rationaal getal vormen?
Als je de somming maar goed definieert, dan wel.
What it all comes down to, is that I haven't got it all figured out just yet

And I've got one hand in my pocket and the other one is giving the peace sign

-Alanis Morisette-

Berichten: 301

Re: De som van 1 t/m oneindig

317070 schreef: za 15 feb 2014, 05:45
Als je de somming maar goed definieert, dan wel.
Dat bedacht ik me later ook ja, maar dan zou het resultaat ten alle tijden geschreven moeten kunnen worden als Natuurlijk getal?

Verder gebruikt deze methode een ander bewijs
\(\sum^\infty_{i=0} (-1)^i = 1 - 1 + 1 - 1+ ... = \frac{1}{2}\)
Terwijl het bewijs hiervoor niet eens "werkt" voor elk willekeurig Natuurlijk getal "n" ipv
\(\infty\)
.

Alleen voor
\(\infty\)
omdat het mooi uit komt...
Plan? I don't need a plan, just a goal. The rest will follow on its own.

Clever waste of time: Level 31

Gebruikersavatar
Berichten: 5.609

Re: De som van 1 t/m oneindig

paac schreef: za 15 feb 2014, 11:10
Alleen voor
\(\infty\)
omdat het mooi uit komt...
Het klopt dat het enkel werkt voor oneindig, en dat komt omdat ze op een speciale manier naar die oneindig gaan.

Ze sommen namelijk zo:
\( \zeta_A(s) = \lim_{r \to s} \sum^\infty_{i=0} \frac{1}{a_i^r}\)
met r en s complexe getallen.

Voor de sommatie 1-1+1-1... wil dit zeggen:
\(1 - 1 + 1 - 1+ ... = \zeta_A(1) = \lim_{r \to 1} \sum^\infty_{i=0} \frac{1}{(-1)^{ir}}=\frac{1}{2}\)
What it all comes down to, is that I haven't got it all figured out just yet

And I've got one hand in my pocket and the other one is giving the peace sign

-Alanis Morisette-

Re: De som van 1 t/m oneindig

Analytische uitbreiding geeft vaak een oplossing (zoals hier met de
\(\zeta\)
functie), echter die truc is doorgaans niet te rechtvaardigen.

De titel "De som van 1 t/m oneindig" toont aan dat het symbool
\(\Sigma_{i=0}^{\infty}\)
fout wordt geinterpreteerd.
\(\sum_{n=0}^{\infty} a_n\)
kun je op velerlei manieren definiëren.

De meest bekende definitie is
\(\sum_{n=0}^{\infty} a_n = \lim_{N\to\infty} \sum_{n=0}^{N} a_n\)
.

In de Fouriertheorie en in de stochastische speltheorie gebruikt men echter de definitie volgens Cesàro.

Er zijn nog zeer veel meer definities in zwang, zoals die van Abel.

Voor een definitie ga je uit van axioma's, zoals b.v. de eis
\(\sum_{n=0}^{\infty} a_n = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} a_n\)
.

Heb je een definitie die aan gestelde axioma's voldoen dan is er geen gevaar voor tegenstrijdigheden.

Als twee definities aan de axioma's voldoen en een reeks convergeert volgens beide definities, dan zijn hun sommen gelijk.

In de tijd van Euler dacht men dat elke reeks een (eindige) limiet had, en dat het slechts een kwestie was van de juiste truc te vinden om een antwoord te vinden. Echter, hoe trager een reeks convergeert, hoe moeilijker het wordt om zijn som te vinden. Dus het is makkelijker om 1+2+4+8+16+... uit te rekenen dan 1+1/2+1/3+... .

Er zijn reeksen waarvoor nog geen eindige som gevonden is (die aan de axioma's voldoet). Een voorbeeld hiervan is 1+1+1+... .

In de natuurkunde wordt inderdaad soms gebruik gemaakt van een andere definitie dan de meest gebruikte.

Een rechtvaardiging wordt daar meestal niet bij gegeven. Er moet een wiskundige rechtvaardiging zijn, maar die is niet altijd eenvoudig te geven.

Re: De som van 1 t/m oneindig

Nog even iets over de
\(\zeta\)
functie.
\(-\frac12 = \zeta(0) = 1+1+1+...\)
,

Echter, dan is
\(\zeta(0) = 1+\zeta(0)\)
Met de
\(\zeta\)
functie kom je dus in conflict met het axioma dat ik hiervoor noemde.

Reageer